3.24 A Sierra Electric Company está considerando comprar uma propriedade rural, na encosta de uma montanha, para possivelmente utilizá-la como fazenda de moinhos de vento no futuro. O proprietário da fazenda de 202,3 hectares a venderá por \ 3.000 por hectare, se a empresa comprar em dois pagamentos: um agora e outro, duas vezes maior, daqui a 3 anos. Se a taxa de juros da transação for deçã8 %$ ao ano, qual é o valor do primeiro pagamento?

Passo 1

O enunciado dá uma fazenda de 202{,}3 hectares que será vendida a \$3.000 por hectare. O proprietário aceita pagamento em duas parcelas: a primeira paga agora (tempo 0) e a segunda, de valor duas vezes a primeira, paga daqui a 3 anos. A taxa de juros da transação é de 8\% ao ano. A pergunta é: qual é o valor da primeira parcela?
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Área} = 202{,}3\\ \text{hectares},\\\ &\text{Preço por hectare} = \$3.000,\\\ &\text{Pagamento 1 (agora)} = X\\ (\text{valor a encontrar}),\\\ &\text{Pagamento 2 (em 3 anos)} = 2X,\\\ &\text{Taxa de juros anual} = 8\% = 0{,}08,\\\ &\text{Horizonte temporal da 2ª parcela} = 3\\ \text{anos}. \end{aligned}Áçª

Passo 2

Primeiro calcule o preço total da fazenda (valor à vista se fosse pago todo agora):
\text{Preço total} = 202{,}3 \times 3.000.ç
Multiplicando:
202{,}3 \times 3.000 = 606.900.
Logo o preço que precisa ser equivalente ao valor presente das duas parcelas é \$606.900.

Passo 3

Agora lembre o conceito financeiro básico que vamos usar: valor presente (desconto) de uma quantia futura. Para uma quantia F recebida em n anos a uma taxa de juros anual i, o valor presente PV é dado por
PV=\frac{F}{(1+i)^n}.
Explicando as letras: F é o montante que será pago no futuro, i é a taxa anual (no nosso caso i=0{,}08), e n é o número de anos até o pagamento (aqui n=3). Esse fórmula vem da relação de juros compostos revertida: multiplicar por (1+i)^n guarda o crescimento; dividir por (1+i)^n traz o valor futuro de volta ao presente.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso plano de pagamentos: o valor presente da primeira parcela é X (já que é paga agora). O valor presente da segunda parcela (que vale 2X daqui a 3 anos) é \dfrac{2X}{(1+0{,}08)^3}. A soma dos valores presentes deve ser igual ao preço total:
606.900 = X + \frac{2X}{(1+0{,}08)^3}.

Passo 5

Calcule (1+0{,}08)^3. Primeiro (1+0{,}08)^2:
(1+0{,}08)^2 = 1{,}08^2 = 1{,}1664.
Em seguida
(1+0{,}08)^3 = 1{,}1664 \times 1{,}08 = 1{,}259712.

Passo 6

Calcule o fator \dfrac{2}{(1+0{,}08)^3}:
\frac{2}{1{,}259712} = 1{,}587664482\quad(\text{aprox.}).
Assim a equação do passo 4 fica
606.900 = X + 1{,}587664482\,X = X\big(1 + 1{,}587664482\big).

Passo 7

Some os fatores no parêntese:
1 + 1{,}587664482 = 2{,}587664482.
Logo
606.900 = 2{,}587664482\,X.
Isolando X,
X = \frac{606.900}{2{,}587664482}.

Passo 8

Faça a divisão e arredonde para centavos (duas casas decimais). Dividindo obtemos
X \approx 234.535{,}816\ldots
Arredondando para centavos:
X \approx 234.535{,}82.

Passo 9

Sugestão de checagem rápida (sanity check): a segunda parcela é 2X \approx 469.071{,}64. O valor presente dela é
\frac{469.071{,}64}{1{,}259712} \approx 372.364{,}18.
Somando com X:
234.535{,}82 + 372.364{,}18 = 606.900{,}00,
confere com o preço total — portanto o cálculo está consistente.

Resposta

\$234.535{,}82

Exercícios relacionados