3.24 A Sierra Electric Company está considerando comprar uma propriedade rural, na encosta de uma montanha, para possivelmente utilizá-la como fazenda de moinhos de vento no futuro. O proprietário da fazenda de 202,3 hectares a venderá por
3.000
8 %$ ao ano, qual é o valor do primeiro pagamento?
Passo 1
O enunciado dá uma fazenda de
hectares que será vendida a
por hectare. O proprietário aceita pagamento em duas parcelas: a primeira paga agora (tempo
) e a segunda, de valor duas vezes a primeira, paga daqui a 3 anos. A taxa de juros da transação é de
ao ano. A pergunta é: qual é o valor da primeira parcela?
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Primeiro calcule o preço total da fazenda (valor à vista se fosse pago todo agora):
Multiplicando:
Logo o preço que precisa ser equivalente ao valor presente das duas parcelas é
.
Passo 3
Agora lembre o conceito financeiro básico que vamos usar: valor presente (desconto) de uma quantia futura. Para uma quantia
recebida em
anos a uma taxa de juros anual
, o valor presente
é dado por
Explicando as letras:
é o montante que será pago no futuro,
é a taxa anual (no nosso caso
), e
é o número de anos até o pagamento (aqui
). Esse fórmula vem da relação de juros compostos revertida: multiplicar por
guarda o crescimento; dividir por
traz o valor futuro de volta ao presente.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso plano de pagamentos: o valor presente da primeira parcela é
(já que é paga agora). O valor presente da segunda parcela (que vale
daqui a 3 anos) é
. A soma dos valores presentes deve ser igual ao preço total:
Passo 5
Calcule
. Primeiro
:
Em seguida
Passo 6
Calcule o fator
:
Assim a equação do passo 4 fica
Passo 7
Some os fatores no parêntese:
Logo
Isolando
,
Passo 8
Faça a divisão e arredonde para centavos (duas casas decimais). Dividindo obtemos
Arredondando para centavos:
Passo 9
Sugestão de checagem rápida (sanity check): a segunda parcela é
. O valor presente dela é
Somando com
:
confere com o preço total — portanto o cálculo está consistente.