3.26 Uma empresa fornecedora de concreto e materiais de construção tenta fazer com que a parte financiada do fundo de aposentadoria dos seus empregados cumpra o que dispõe o decreto HB301. A empresa já depositou \ 20.000 em cada um dos últimos 5 anos. Quanto deve ser depositado agora, para que o fundo tenhaú$350.000 daqui a 3 anos, se o fundo cresce a uma taxa de juros de15 %$ ao ano?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
  • A empresa depositou \$20.000 em cada um dos últimos 5 anos.
    Vou assumir — de maneira padrão nesses problemas — que esses depósitos foram feitos uma vez por ano, no final de cada um dos últimos 5 anos. Em termos de tempo, se chamarmos o momento “agora” de t=0, esses depósitos ocorreram em t=-1,\,-2,\,-3,\,-4,\,-5.
  • O fundo cresce à taxa de juros de 15\% ao ano (juros compostos).
  • A meta é que o fundo valha \$350.000 daqui a 3 anos (ou seja, no tempo t=3).
  • Pergunta: quanto deve ser depositado agora (no tempo t=0) para que, somando o crescimento dos depósitos passados e desse depósito agora, o montante no tempo t=3 seja \$350.000?
Dados listados de forma direta:
\text{depósitos passados: }20000\\ (\text{em }t=-1,-2,-3,-4,-5),\quad i=0,15,\quad \text{objetivo em }t=3:\\ \$350000.ó

Passo 2

Conceito-chave: futuro de um único depósito com juros compostos.
  • Fórmula: se eu aplicar um valor PV hoje ou em algum tempo e mantê-lo n anos a juros compostos de taxa i ao ano, o valor no futuro (future value) é
FV = PV(1+i)^n.
Explicando cada símbolo: PV é o valor principal (o depósito), i é a taxa por período (aqui anual, i=0{,}15), n é o número de períodos (anos) que o dinheiro permanece rendendo, e FV é o valor futuro obtido depois desses n anos.
Vamos aplicar essa ideia: cada depósito feito no passado crescerá até t=3 por um certo número de anos; o depósito feito agora crescerá 3 anos até t=3.

Passo 3

Montante no tempo t=3 gerado pelos depósitos passados e pelo depósito que vamos chamar de X (o depósito que será feito agora, em t=0).
  • Um depósito de \$20.000 feito em t=-j (com j=1,2,3,4,5) terá, no tempo t=3, o valor
20000\,(1+0{,}15)^{3+j}.
Porque ele ficará rendendo desde t=-j até t=3, ou seja, por 3+j anos.
  • O depósito agora X (em t=0) terá, no tempo t=3,
X(1+0{,}15)^3.
Somando o futuro de todos os depósitos (os 5 de \$20.000 e o X), o total no tempo t=3 deve ser \$350.000. Então montamos a equação
20000\sum_{j=1}^{5}(1{,}15)^{3+j} \;+\; X(1{,}15)^3 \;=\; 350000.

Passo 4

Simplificação algébrica útil: fatorar (1{,}15)^3.
Observe que (1{,}15)^{3+j} = (1{,}15)^3(1{,}15)^j. Então a equação do passo anterior pode ser escrita como
(1{,}15)^3\left[\,20000\sum_{j=1}^{5}(1{,}15)^j \;+\; X\,\right] = 350000.
Isolando X:
X \;=\; \frac{350000}{(1{,}15)^3} \;-\; 20000\sum_{j=1}^{5}(1{,}15)^j.
Agora precisamos calcular os termos numéricos: (1{,}15)^j para j=1,\dots,5 e (1{,}15)^3.

Passo 5

Cálculo das potências e da soma (mostrando cada passo para você repetir na prova).
  • Calculemos as potências de 1{,}15:
\begin{aligned} (1{,}15)^1 &= 1{,}15,\\\ (1{,}15)^2 &= 1{,}15^2 = 1{,}3225,\\\ (1{,}15)^3 &= 1{,}520875,\\\ (1{,}15)^4 &= 1{,}74900625,\\\ (1{,}15)^5 &= 2{,}0113571875. \end{aligned}
  • Soma das potências de j=1 a 5:
\sum_{j=1}^{5}(1{,}15)^j = 1{,}15 + 1{,}3225 + 1{,}520875 + 1{,}74900625 + 2{,}0113571875.
Somando passo a passo:
1{,}15 + 1{,}3225 = 2{,}4725,
2{,}4725 + 1{,}520875 = 3{,}993375,
3{,}993375 + 1{,}74900625 = 5{,}74238125,
5{,}74238125 + 2{,}0113571875 = 7{,}7537384375.
Portanto
\sum_{j=1}^{5}(1{,}15)^j = 7{,}7537384375.
  • Multiplicando por 20000:
20000\cdot 7{,}7537384375 = 155074{,}76875.

Passo 6

Calcule o primeiro termo \dfrac{350000}{(1{,}15)^3} e então encontre X.
  • Já temos (1{,}15)^3 = 1{,}520875. Então
\frac{350000}{(1{,}15)^3} = \frac{350000}{1{,}520875} \approx 230130{,}6990\quad(\text{aprox.}).
(Esse valor vem da divisão; na prova você pode fazer a divisão longa ou usar uma calculadora quando permitida; aqui estou mantendo 4 casas decimais para precisão.)
  • Agora substituímos em
X = \frac{350000}{(1{,}15)^3} - 20000\sum_{j=1}^{5}(1{,}15)^j.
Com os números obtidos:
X \approx 230130{,}6990 - 155074{,}76875 = 75055{,}93025.

Passo 7

Arredondamento final e interpretação (o valor a ser depositado agora).
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o depósito que deve ser feito agora é aproximadamente \$75.055,93.

Resposta

\$75.055,93

Exercícios relacionados