3.26 Uma empresa fornecedora de concreto e materiais de construção tenta fazer com que a parte financiada do fundo de aposentadoria dos seus empregados cumpra o que dispõe o decreto HB301. A empresa já depositou
20.000
$350.000
15 %$ ao ano?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
- A empresa depositou
em cada um dos últimos 5 anos.
Vou assumir — de maneira padrão nesses problemas — que esses depósitos foram feitos uma vez por ano, no final de cada um dos últimos 5 anos. Em termos de tempo, se chamarmos o momento “agora” de, esses depósitos ocorreram em . - O fundo cresce à taxa de juros de
ao ano (juros compostos). - A meta é que o fundo valha
daqui a 3 anos (ou seja, no tempo ). - Pergunta: quanto deve ser depositado agora (no tempo
) para que, somando o crescimento dos depósitos passados e desse depósito agora, o montante no tempo seja ?
Dados listados de forma direta:
Passo 2
Conceito-chave: futuro de um único depósito com juros compostos.
- Fórmula: se eu aplicar um valor
hoje ou em algum tempo e mantê-lo anos a juros compostos de taxa ao ano, o valor no futuro (future value) é
Explicando cada símbolo:
é o valor principal (o depósito),
é a taxa por período (aqui anual,
),
é o número de períodos (anos) que o dinheiro permanece rendendo, e
é o valor futuro obtido depois desses
anos.
Vamos aplicar essa ideia: cada depósito feito no passado crescerá até
por um certo número de anos; o depósito feito agora crescerá 3 anos até
.
Passo 3
Montante no tempo
gerado pelos depósitos passados e pelo depósito que vamos chamar de
(o depósito que será feito agora, em
).
- Um depósito de
feito em (com ) terá, no tempo , o valor
Porque ele ficará rendendo desde
até
, ou seja, por
anos.
- O depósito agora
(em ) terá, no tempo ,
Somando o futuro de todos os depósitos (os 5 de
e o
), o total no tempo
deve ser
. Então montamos a equação
Passo 4
Simplificação algébrica útil: fatorar
.
Observe que
. Então a equação do passo anterior pode ser escrita como
Isolando
:
Agora precisamos calcular os termos numéricos:
para
e
.
Passo 5
Cálculo das potências e da soma (mostrando cada passo para você repetir na prova).
- Calculemos as potências de
:
- Soma das potências de
a :
Somando passo a passo:
Portanto
- Multiplicando por
:
Passo 6
Calcule o primeiro termo
e então encontre
.
- Já temos
. Então
(Esse valor vem da divisão; na prova você pode fazer a divisão longa ou usar uma calculadora quando permitida; aqui estou mantendo 4 casas decimais para precisão.)
- Agora substituímos em
Com os números obtidos:
Passo 7
Arredondamento final e interpretação (o valor a ser depositado agora).
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o depósito que deve ser feito agora é aproximadamente
.