P2.23 Uma partícula está sujeita à ação da força
a. Determine o potencial
, descreva a natureza das soluções e determine a solução
.
b. Você pode dar uma interpretação simples do movimento quando
?
b. Você pode dar uma interpretação simples do movimento quando
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a partícula sente a força
e pede:
- encontrar o potencial
, falar da “natureza das soluções” (ou seja, como é o movimento) e achar ; - interpretar o movimento quando
.
Conteúdo que vamos usar: conceito de força conservativa (
), conservação de energia mecânica (
), separação de variáveis e, no final, análise de limite para
.
Passo 2
Primeiro, achamos
a partir de
Logo
A gente pode escolher
. Então
Passo 3
Para entender o tipo de movimento, veja onde
tem mínimo:
Esse
é ponto de equilíbrio estável (porque
). O perfil de
vai pra+
quando
ou
, então a partícula fica “presa” oscilando entre dois valores de
que satisfazem
.
Passo 4
Usando energia mecânica conservada
Para resolver, fazemos a troca
. Então
e fica integral de forma
Esse integral é padrão e dá solução do tipo senoidal em
. O resultado final, depois de limpar constantes, é
Portanto
A frequência efetiva da oscilação em
é
, e o período em
(num movimento de vai-e-vem positivo) é
.
Passo 5
Quando
, temos
. Então
Isso significa que o termo
é pequeno diante de
, e a partícula oscila quase como um gancho simples com frequência
. Em outras palavras, o potencial fica dominado por
e o movimento se comporta como um oscilador harmônico clássico.
Resposta
Potencial:
Solução geral:
com período
.
Para , o termo
some e o movimento vira quase um oscilador harmônico de frequência
.
Para