P2.23 Uma partícula está sujeita à ação da força
F=-k x+ax^3
a. Determine o potencial V(x), descreva a natureza das soluções e determine a solução x(t).
b. Você pode dar uma interpretação simples do movimento quando E^2 gg k a ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a partícula sente a força
F(x) = -k,x + ax^3
e pede:
  1. encontrar o potencial , falar da “natureza das soluções” (ou seja, como é o movimento) e achar ;
  2. interpretar o movimento quando .
Conteúdo que vamos usar: conceito de força conservativa ( ), conservação de energia mecânica ( ), separação de variáveis e, no final, análise de limite para .

Passo 2

Primeiro, achamos F(x) = -dVdx Longrightarrow -dVdx=-k,x+ax^3 a partir de
dVdx=k,x-ax^3 Longrightarrow V(x)=integrall(k,x-ax^3r),dx =12,k,x^2+12,ax^2+C
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fbox(V(x)=dfrac12,k,x^2+dfraca2,x^2)
A gente pode escolher . Então

Passo 3

Para entender o tipo de movimento, veja onde dVdx=0 ;Rightarrow; k,x-ax^3=0 ;Rightarrow; x^4=ak ;Rightarrow; x0=l(tfracakr)^1/4 tem mínimo:
Esse é ponto de equilíbrio estável (porque ). O perfil de vai pra+ quando ou , então a partícula fica “presa” oscilando entre dois valores de que satisfazem .

Passo 4

Usando energia mecânica conservada
12,m,dot x^2+V(x)=E Longrightarrow dot x^2=2ml(E-V(x)r) =2ml(E-tfrac12k x^2-tfraca2x^2r)
Para resolver, fazemos a troca integraldyraiz-tfrac4kmy^2+tfrac8Emy-tfrac4am=t+const . Então boxed x^2(t) =Ek +raizE^2-k,ak, sin!l(2omega t+varphir), com omega=raizkm e fica integral de forma
boxed x(t) =raizEk +raizE^2-k,ak, sinl(2raiztfrackm,t+varphir) ,
Esse integral é padrão e dá solução do tipo senoidal em . O resultado final, depois de limpar constantes, é
Portanto
A frequência efetiva da oscilação em é , e o período em (num movimento de vai-e-vem positivo) é .

Passo 5

Quando x^2(t)approxEk+Eksin(2omega t+varphi) =2Ek,1+sin(2omega t+varphi)2 , temos . Então
Isso significa que o termo é pequeno diante de , e a partícula oscila quase como um gancho simples com frequência . Em outras palavras, o potencial fica dominado por e o movimento se comporta como um oscilador harmônico clássico.

Resposta

Potencial:
V(x)=tfrac12k x^2+tfraca2x^2
Solução geral:
x(t) =raizEk +raizE^2-k,ak, sinl(2raiztfrackm,t+varphir) ,,
com período .
Para , o termo some e o movimento vira quase um oscilador harmônico de frequência .

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