Quando 25 J foram adicionados na forma de calor a certo gás ideal, o volume do gás variou de 80 \mathrm{~cm}^{3} para 120 \mathrm{~cm}^{3} enquanto a pressão permaneceu em 1,00 atm.
(a) De quanto variou a energia interna do gás? Se a quantidade de gás presente era 4 \times 10^{-3} \mathrm{~mol}.
(b) Determinar C_{v} e C_{p}.

Passo 1

Temos um gás ideal submetido a um processo isobárico (pressão constante P), ao qual foi fornecido calor Q=25\\ \mathrm{J}. O volume varia de V_{1}=80\\ \mathrm{cm^{3}} para V_{2}=120\\ \mathrm{cm^{3}} e a quantidade de matéria é n=4\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
Conteúdos necessários:
  1. Primeira lei da termodinâmica: \Delta U=Q-W.
  2. Trabalho a pressão constante: W=P\,\Delta V.
  3. Equação de estado do gás ideal: P\,V=n\,R\,T.
  4. Definições de capacidades caloríficas molares:
    \displaystyle C_{v}=\frac{\Delta U}{n\,\Delta T} e \displaystyle C_{p}=C_{v}+R.

Passo 2

Calcular o trabalho realizado pelo gás em um processo isobárico. Primeiro convertemos as unidades: \displaystyle P=1{,}00\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} \displaystyle \Delta V=V_{2}-V_{1}=(120-80)\\ \mathrm{cm^{3}}=40\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}
O trabalho é
W = P\,\Delta V = (1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\,(4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}})\approx4{,}05\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Usando a primeira lei da termodinâmica,
\Delta U = Q - W = 25{,}0\\ \mathrm{J} - 4{,}05\\ \mathrm{J} = 20{,}95\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Determinar a variação de temperatura \Delta T via a equação de estado em processo isobárico:
P\,\Delta V = n\,R\,\Delta T \quad\Longrightarrow\quad \Delta T = \frac{P\,\Delta V}{n\,R}.
Substituindo
\Delta T = \frac{4{,}05\\ \mathrm{J}}{(4\times10^{-3}\\ \mathrm{mol})(8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}})}\approx121{,}9\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular C_{v} pela definição \displaystyle C_{v}=\frac{\Delta U}{n\,\Delta T}:
C_{v} =\frac{20{,}95\\ \mathrm{J}}{(4\times10^{-3}\\ \mathrm{mol})(121{,}9\\ \mathrm{K})} \approx42{,}9\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 6

Calcular C_{p} sabendo que C_{p}=C_{v}+R:
C_{p} =42{,}9\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} + 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} \approx51{,}2\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Resposta

(a) \Delta U = 20{,}95\\ \mathrm{J}.
(b) C_{v}\approx42{,}9\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e C_{p}\approx51{,}2\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

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