Questão 1:
Considere um meio dielétrico infinito, linear, homogêneo, isotrópico e não magnético com constante dielétrica
. Esse meio está uniformemente polarizado na direção
, de modo que sua polarização elétrica é dada por:
No interior desse meio, há uma esfera dielétrica e magnética de raio
, com constantes dielétrica e magnética
e
, centrada na origem do sistema de coordenadas. A esfera possui uma magnetização uniforme na direção do eixo
, dada por:
Determine:
a) Potencial Eletrostático: Calcule o potencial eletrostático em todas as regiões do espaço;
b) Campo Elétrico: Determine o campo elétrico nas seguintes regiões: interior da esfera
; exterior à esfera (
); na interface (
), aplicando as condições de contorno;
c) Campo Magnético: Sabendo que a esfera possui magnetização uniforme
, determine os campos magnéticos H e B nas regiões interna e externa, considerando as condições de contorno;
d) Energia Eletromagnética: Calcule a densidade de energia eletrostática e magnetostática na superfície da esfera
, considerando as cargas de polarização e a magnetização.
b) Campo Elétrico: Determine o campo elétrico nas seguintes regiões: interior da esfera
c) Campo Magnético: Sabendo que a esfera possui magnetização uniforme
d) Energia Eletromagnética: Calcule a densidade de energia eletrostática e magnetostática na superfície da esfera
Passo 1
O enunciado trata de duas situações superpostas:
- Uma esfera de raio
com constante dielétrica imersa em um meio infinito dielétrico de constante , submetido a uma polarização uniforme . - A mesma esfera é magnetizada uniformemente
no interior, estando o meio externo não magnético .
Conteúdo e estratégia:
- Em eletrostática de meios dielétricos, uma polarização uniforme
num meio homogêneo corresponde a um campo uniforme . Trataremos o problema como esfera dielétrica em um campo externo uniforme , usando expansão em Legendre de ordem 1 e aplicando condições de contorno em (continuidade de e de ). - O campo elétrico obtém-se por
. - Em magnetostática, uma magnetização uniforme numa esfera produz um campo interno uniforme e um campo externo de dipolo magnético, determinado pelas condições de contorno de
e de . - A densidade de energia eletrostática local é
e magnetostática é , avaliadas em .
Passo 2
Determinação do potencial eletrostático.
No meio externo o potencial de uma esfera dielétrica em campo uniforme
é
No meio externo
e no interior
onde
é o ângulo polar medido a partir do eixo
. As constantes
e
são fixadas por:
-
. -
em , com .
Aplicando essas condições obtém-se
Passo 3
Expressão completa de
e do campo elétrico.
Como e
, temos:
Como
No interior
:
No exterior
:
Na interface
, o campo é contínuo em
e em
, o que já foi imposto acima.
Passo 4
Campo magnético
e
da esfera magnetizada.
Para magnetização uniforme numa esfera de permeabilidade interna
(a esfera é magnética mas
declarado “não magnético”? Se
proceda igual a dielétrico com
). Aqui
, logo não há descontinuidade magnética e:
Para magnetização uniforme
No interior
:
No exterior
surge um dipolo magnético de momento
, portanto
Passo 5
Densidade de energia na superfície
.
- Eletrostática:
onde
.
2. Magnetostática:
2. Magnetostática:
onde
pode ser extraído do campo dipolar externo tangencial em
.
Resposta
a) Potencial eletrostático
b) Campo elétrico
c) Campo magnético
d) Densidades de energia em