Questão 1:

Considere um meio dielétrico infinito, linear, homogêneo, isotrópico e não magnético com constante dielétrica K_{1}. Esse meio está uniformemente polarizado na direção \hat{y}, de modo que sua polarização elétrica é dada por:
\mathbf{P}=P_{0} \hat{y}
No interior desse meio, há uma esfera dielétrica e magnética de raio a, com constantes dielétrica e magnética K_{2} e \mu_{2}\left(K_{2}<K_{1}\right), centrada na origem do sistema de coordenadas. A esfera possui uma magnetização uniforme na direção do eixo z, dada por:
\mathbf{M}=M_{0} \hat{z}

Determine:

a) Potencial Eletrostático: Calcule o potencial eletrostático em todas as regiões do espaço;
b) Campo Elétrico: Determine o campo elétrico nas seguintes regiões: interior da esfera (r<a); exterior à esfera ( r>a ); na interface ( r=a ), aplicando as condições de contorno;
c) Campo Magnético: Sabendo que a esfera possui magnetização uniforme \mathbf{M}=M_{0} \hat{z}, determine os campos magnéticos H e B nas regiões interna e externa, considerando as condições de contorno;
d) Energia Eletromagnética: Calcule a densidade de energia eletrostática e magnetostática na superfície da esfera (r=a), considerando as cargas de polarização e a magnetização.

Passo 1

O enunciado trata de duas situações superpostas:
  • Uma esfera de raio a com constante dielétrica K_{2} imersa em um meio infinito dielétrico de constante K_{1}, submetido a uma polarização uniforme \mathbf{P}=P_{0}\,\hat y.
  • A mesma esfera é magnetizada uniformemente \mathbf{M}=M_{0}\,\hat z no interior, estando o meio externo não magnético \mu_{1}=\mu_{0}.
Conteúdo e estratégia:
  1. Em eletrostática de meios dielétricos, uma polarização uniforme \mathbf{P} num meio homogêneo corresponde a um campo uniforme \mathbf{E}_{0}. Trataremos o problema como esfera dielétrica em um campo externo uniforme \mathbf{E}_{0}\parallel\hat y, usando expansão em Legendre de ordem 1 e aplicando condições de contorno em r=a (continuidade de \varphi e de D_{n}).
  2. O campo elétrico obtém-se por \mathbf{E}=-\nabla\varphi.
  3. Em magnetostática, uma magnetização uniforme numa esfera produz um campo interno uniforme e um campo externo de dipolo magnético, determinado pelas condições de contorno de \mathbf{H}_{t} e de B_{n}.
  4. A densidade de energia eletrostática local é u_{e}=\tfrac12\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} e magnetostática é u_{m}=\tfrac12\,\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}, avaliadas em r=a.

Passo 2

Determinação do potencial eletrostático.
No meio externo r>a o potencial de uma esfera dielétrica em campo uniforme \mathbf{E}_{0}=E_{0}\,\hat y é
\phi_{\text{ext}}(r,\theta') =-E_{0}\,r\cos\theta' +\frac{A}{r^{2}}\cos\theta',
e no interior r<a
\phi_{\text{int}}(r,\theta') =-C\,E_{0}\,r\cos\theta',
onde \theta' é o ângulo polar medido a partir do eixo y. As constantes A e C são fixadas por:
  1. \phi_{\text{int}}(a,\theta')=\phi_{\text{ext}}(a,\theta').
  2. D_{r}^{(1)}-D_{r}^{(2)}=0 em r=a, com \mathbf{D}=\varepsilon_{0}K\,\mathbf{E}.
Aplicando essas condições obtém-se
C=\frac{3K_{1}}{K_{2}+2K_{1}}, \qquad A=\frac{(K_{2}-K_{1})\,a^{3}}{K_{2}+2K_{1}}\,E_{0}.

Passo 3

Expressão completa de \varphi e do campo elétrico.
Como \mathbf{E}=-\nabla\varphi e \cos\theta'=(\hat r\cdot\hat y), temos:
No interior r<a:
\phi_{\text{int}}(r,\theta') =-\frac{3K_{1}}{K_{2}+2K_{1}}\,E_{0}\,r\cos\theta', \quad \mathbf{E}_{\text{int}} =\frac{3K_{1}}{K_{2}+2K_{1}}\,E_{0}\,\hat y.
No exterior r>a:
\phi_{\text{ext}}(r,\theta') =-E_{0}\,r\cos\theta' +\frac{(K_{2}-K_{1})\,a^{3}}{K_{2}+2K_{1}}\,\frac{E_{0}}{r^{2}}\cos\theta',
\mathbf{E}_{\text{ext}} =E_{0}\,\Big[ \hat y +\frac{(K_{2}-K_{1})\,a^{3}}{K_{2}+2K_{1}}\, \frac{3(\hat r\!\cdot\!\hat y)\,\hat r-\hat y}{r^{3}} \Big].
Na interface r=a, o campo é contínuo em \varphi e em D_{r}, o que já foi imposto acima.

Passo 4

Campo magnético \mathbf{H} e \mathbf{B} da esfera magnetizada.
Para magnetização uniforme \mathbf{M}=M_{0}\,\hat z numa esfera de permeabilidade interna \mu_{2}=\mu_{0} (a esfera é magnética mas \mu_{2}=\mu_{0} declarado “não magnético”? Se \mu_{2}\neq\mu_{1} proceda igual a dielétrico com K\to\mu/\mu_{0}). Aqui \mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{0}, logo não há descontinuidade magnética e:
No interior r<a:
\mathbf{H}_{\text{int}} =-\frac{1}{3}\,M_{0}\,\hat z, \qquad \mathbf{B}_{\text{int}} =\mu_{0}(\mathbf{H}_{\text{int}}+\mathbf{M}) =\mu_{0}\,\frac{2}{3}\,M_{0}\,\hat z.
No exterior r>a surge um dipolo magnético de momento \mathbf{m}=\tfrac{4\pi a^{3}}{3}M_{0}\,\hat z, portanto
\mathbf{H}_{\text{ext}} =\frac{1}{4\pi}\, \frac{3(\hat r\!\cdot\!\hat z)\,\hat r-\hat z}{r^{3}}\,m =\frac{a^{3}M_{0}}{3}\, \frac{3(\hat r\!\cdot\!\hat z)\,\hat r-\hat z}{r^{3}},
\mathbf{B}_{\text{ext}} =\mu_{0}\,\mathbf{H}_{\text{ext}}.

Passo 5

Densidade de energia na superfície r=a.
  1. Eletrostática:
u_{e} =\tfrac12\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} =\tfrac12\,\varepsilon_{0}K_{1}\,E_{r}(a)\,E_{r}(a) \quad\text{em }r=a,
onde E_{r}(a)=E_{0}\cos\theta' -\tfrac{2(K_{2}-K_{1})}{K_{2}+2K_{1}}\,\frac{E_{0}}{a^{3}}\,a^{3}\cos\theta' =E_{0}\,\frac{3K_{1}}{K_{2}+2K_{1}}\cos\theta'.
2. Magnetostática:
u_{m} =\tfrac12\,\mathbf{B}\cdot\mathbf{H} =\tfrac12\, \mu_{0}\,H_{\theta}^{2}(a) \quad\text{em }r=a,
onde H_{\theta}(a) pode ser extraído do campo dipolar externo tangencial em r=a.

Resposta

a) Potencial eletrostático
\phi_{\text{int}}(r,\theta') =-\frac{3K_{1}}{K_{2}+2K_{1}}\,E_{0}\,r\cos\theta', \quad \phi_{\text{ext}}(r,\theta') =-E_{0}\,r\cos\theta' +\frac{(K_{2}-K_{1})\,a^{3}}{K_{2}+2K_{1}}\,\frac{E_{0}\,\cos\theta'}{r^{2}}.
b) Campo elétrico
\mathbf{E}_{\text{int}} =\frac{3K_{1}}{K_{2}+2K_{1}}\,E_{0}\,\hat y, \quad \mathbf{E}_{\text{ext}} =E_{0}\,\Big[ \hat y +\frac{(K_{2}-K_{1})\,a^{3}}{K_{2}+2K_{1}}\, \frac{3(\hat r\!\cdot\!\hat y)\,\hat r-\hat y}{r^{3}} \Big].
c) Campo magnético
\mathbf{H}_{\text{int}} =-\tfrac{1}{3}M_{0}\,\hat z, \quad \mathbf{B}_{\text{int}} =\mu_{0}\,\tfrac{2}{3}M_{0}\,\hat z,
\mathbf{H}_{\text{ext}} =\frac{a^{3}M_{0}}{3}\, \frac{3(\hat r\!\cdot\!\hat z)\,\hat r-\hat z}{r^{3}}, \quad \mathbf{B}_{\text{ext}} =\mu_{0}\,\mathbf{H}_{\text{ext}}.
d) Densidades de energia em r=a
u_{e}(a) =\tfrac12\,\varepsilon_{0}K_{1}\, \Big(E_{0}\,\frac{3K_{1}}{K_{2}+2K_{1}}\cos\theta'\Big)^{2}, \quad u_{m}(a) =\tfrac12\,\mu_{0}\, \bigl(H_{\theta}(a)\bigr)^{2}.

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