25- A inversa de uma matriz simétrica é sempre simétrica? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado uma matriz A simétrica e invertível, a sua inversa A^{-1} também é simétrica. Vamos usar o conceito de matriz simétrica e a propriedade de transposição da inversa.

Passo 2

Por definição, A é simétrica se
A = A^T.
Isto significa que cada elemento a_{ij} de A coincide com a_{ji}.

Passo 3

Há uma identidade geral para matrizes invertíveis, que se obtém a partir de
A\,A^{-1}=I
e aplicando transposição em ambos os lados:
(A\,A^{-1})^T = I^T \quad\Longrightarrow\quad (A^{-1})^T A^T = I.
Invertendo essa igualdade chega-se a
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}.

Passo 4

Como A é simétrica, A^T = A. Substituindo em
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}
obtemos
(A^{-1})^T = A^{-1}.
Isso mostra que A^{-1} satisfaz a condição de simetria.

Resposta

Sim. Se A é simétrica e invertível, então sua inversa A^{-1} também é simétrica, pois (A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}.

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