25- A inversa de uma matriz simétrica é sempre simétrica? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado uma matriz
simétrica e invertível, a sua inversa
também é simétrica. Vamos usar o conceito de matriz simétrica e a propriedade de transposição da inversa.
Passo 2
Por definição,
é simétrica se
Isto significa que cada elemento
de
coincide com
.
Passo 3
Há uma identidade geral para matrizes invertíveis, que se obtém a partir de
e aplicando transposição em ambos os lados:
Invertendo essa igualdade chega-se a
Passo 4
Como
é simétrica,
. Substituindo em
obtemos
Isso mostra que
satisfaz a condição de simetria.
Resposta
Sim. Se
é simétrica e invertível, então sua inversa
também é simétrica, pois
.