É verdade que (c A)^{-1}=\frac{1}{c} A^{-1}, para c \neq 0 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se para uma matriz invertível A e um escalar não nulo c vale a relação
(cA)^{-1} \;=\;\frac{1}{c}\,A^{-1}.
O conteúdo principal é a propriedade do inverso de produto de matrizes e a inversibilidade de escalares.

Passo 2

Escrevemos a matriz cA como produto de duas matrizes:
cA \;=\;(cI)\,A,
onde I é a matriz identidade compatível com A. Note que cI é invertível pois c\neq 0.

Passo 3

Usamos a propriedade geral de inverso de produto: se X e Y são invertíveis, então
(XY)^{-1} \;=\;Y^{-1}\,X^{-1}.
Aplicando com X=cI e Y=A, obtemos
(cI\,A)^{-1} = A^{-1}\,(cI)^{-1}.

Passo 4

Como cI é uma matriz diagonal com todas as entradas iguais a c, seu inverso é
(cI)^{-1} = \frac{1}{c}\,I.
Substituindo em cima dá
(cA)^{-1} = A^{-1}\,\Bigl(\frac{1}{c}I\Bigr) = \frac{1}{c}\,A^{-1}.

Resposta

Sim, para c\neq 0 e A invertível vale
(cA)^{-1} = \frac{1}{c}\,A^{-1}.

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