É verdade que
, para
?
Passo 1
O enunciado pergunta se para uma matriz invertível
e um escalar não nulo
vale a relação
O conteúdo principal é a propriedade do inverso de produto de matrizes e a inversibilidade de escalares.
Passo 2
Escrevemos a matriz
como produto de duas matrizes:
onde
é a matriz identidade compatível com
. Note que
é invertível pois
.
Passo 3
Usamos a propriedade geral de inverso de produto: se
e
são invertíveis, então
Aplicando com
e
, obtemos
Passo 4
Como
é uma matriz diagonal com todas as entradas iguais a
, seu inverso é
Substituindo em cima dá
Resposta
Sim, para
e
invertível vale