É verdade que (A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1} para quaisquer A e B ?

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a identidade para inversas de soma de matrizes, isto é, se para quaisquer matrizes quadradas inversíveis A e B (com A+B também inversível) temos
(A+B)^{-1} \;=\; A^{-1} + B^{-1}.
O conteúdo envolve propriedades de inversa de matrizes e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Vamos supor, por absurdo, que
(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}.
Multiplicando ambos os lados pela esquerda por (A+B), obtemos
(A+B)(A+B)^{-1} = (A+B)(A^{-1}+B^{-1}).
O lado esquerdo é a matriz identidade I. O lado direito expande-se em
AA^{-1} + AB^{-1} + BA^{-1} + BB^{-1} = I + AB^{-1} + BA^{-1} + I = 2I + AB^{-1} + BA^{-1}.
Logo seria necessário
2I + AB^{-1} + BA^{-1} = I \quad\Longrightarrow\quad AB^{-1} + BA^{-1} = -I.
Essa condição não se verifica para matrizes arbitrárias.

Passo 3

Para ver que a fórmula falha em geral, basta um contraexemplo simples. Tome
A = I_n \quad\text{e}\quad B = I_n,
onde I_n é a matriz identidade de ordem n. Ambas são inversíveis e A+B = 2I_n também é inversível.

Passo 4

Calculando cada lado da identidade proposta:
(A+B)^{-1} = (2I_n)^{-1} = \tfrac12 I_n,
A^{-1} + B^{-1} = I_n + I_n = 2I_n.
Como \tfrac12 I_n \neq 2I_n, a igualdade não se mantém.

Passo 5

Concluímos, portanto, que em geral
(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}.
A identidade só seria válida em casos muito especiais que satisfizessem AB^{-1}+BA^{-1}=-I, situação que não ocorre para matrizes genéricas.

Resposta

Não. Em geral (A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}, conforme mostra o contraexemplo A=B=I_n.

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