É verdade que
para quaisquer
e
?
Passo 1
O enunciado pergunta se vale a identidade para inversas de soma de matrizes, isto é, se para quaisquer matrizes quadradas inversíveis
e
(com
também inversível) temos
O conteúdo envolve propriedades de inversa de matrizes e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Vamos supor, por absurdo, que
Multiplicando ambos os lados pela esquerda por
, obtemos
O lado esquerdo é a matriz identidade
. O lado direito expande-se em
Logo seria necessário
Essa condição não se verifica para matrizes arbitrárias.
Passo 3
Para ver que a fórmula falha em geral, basta um contraexemplo simples. Tome
onde
é a matriz identidade de ordem
. Ambas são inversíveis e
também é inversível.
Passo 4
Calculando cada lado da identidade proposta:
Como
, a igualdade não se mantém.
Passo 5
Concluímos, portanto, que em geral
A identidade só seria válida em casos muito especiais que satisfizessem
, situação que não ocorre para matrizes genéricas.
Resposta
Não. Em geral
, conforme mostra o contraexemplo
.