Q 25 Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
integral x(1+4 x^2)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva da função
f(x)=xl(1+4x^2r)^2
que envolve uma integral de uma função racional. Vamos usar o método de substituição (u-substituição).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + 4x^2,
porque o denominador aparece como (1+4x^2)^2. Então
du = 8x,dx Longrightarrow x,dx = 18,du

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
integral xl(1+4x^2r)^2,dx = integral 1u^2;l(x,dxr) = integral 1u^2cdot18,du = 18integral u^-2,du

Passo 4

Agora integramos u^-2:
integral u^-2,du = u^-1-1 + C = -,1u + C
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18integral u^-2,du = -18u + C

Passo 5

Voltando à variável x usando u=1+4x^2, obtemos a primitiva
-18l(1+4x^2r) + C

Resposta

-18l(1+4x^2r) + C

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