Utilize a ideia do exercício 6 para resolver as seguintes equações:
y(6 x^2 y^2-x+1)+2 x y^prime=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
yl(6x^2y^2-x+1r)+2x,y'=0,
que é uma EDO de primeira ordem não-linear. A ideia do exercício 6 sugere reconhecer que se trata de uma equação de Bernoulli do tipo
y'+p(x),y=q(x),y^n,
e usar a substituição u=y^1-n para reduzi-la a uma equação linear em u.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y':
2x,dydx +6x^2y^3-x,y+y=0 Longrightarrow dydx=-3x,y^3+y2-y2x
Colocando na forma y'+p(x)y=q(x)y^3, obtemos
dydx+l(-tfrac12+tfrac12xr)y = -3x,y^3,
ou seja
p(x)=-tfrac12+tfrac12x, q(x)=-3x, n=3

Passo 3

Para a equação de Bernoulli usamos a substituição
u = y^1-n = y^-2
Calculamos
dudx = -2,y^-3,dydx,
e dividimos a equação original por y^3:
1y^3dydx +l(-tfrac12+tfrac12xr)1y^2 =-3x
Como tfrac1y^3,y'=-tfrac12,u' e tfrac1y^2=u, obtemos
-12,dudx +l(-tfrac12+tfrac12xr)u =-3x
Multiplicando tudo por -2 dá a equação linear em u:
dudx +l(1-tfrac1xr)u =6x

Passo 4

Resolvemos
u' +l(1-tfrac1xr)u =6x
por fator integrante. Calculamos
mu(x) = exp!l(!integral (1-tfrac1x),dxr) = exp(x-ln|x|) = e^xx
Multiplicando a equação por mu:
ddxl(u,e^xxr) =6x,e^xx =6e^x
Integrando,
u,e^xx =6e^x+C Longrightarrow u = l(6e^x+Cr),xe^x =6x +C,x,e^-x

Passo 5

Voltando à variável y, lembrando que u=y^-2, temos
y^-2 =6x +C,x,e^-x Longrightarrow y^2 = 1x,(6 +C,e^-x)
Logo a solução geral é
y(x) = pm1raizx,(6 +C,e^-x)

Resposta

y(x)=pm1raizxl(6 +C,e^-xr)

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