Q 25 Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
integral 3 x^2raiz[3]x^3-1 d x;

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva para a função
integral 3x^2raiz[3]x^3-1,dx,
usando uma mudança de variável. O conteúdo é integração por substituição, onde escolhemos uma expressão interna cuja derivada apareça no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^3-1
Então
du = 3x^2,dx,
o que mostra que 3x^2,dx = du. Isso é perfeito para eliminar x e dx.

Passo 3

Em termos de u, a integral fica
integral 3x^2raiz[3]x^3-1,dx = integral 1raiz[3]u,du = integral u^-tfrac13,du

Passo 4

Agora basta integrar a potência de u:
integral u^-tfrac13,du = u^-tfrac13+1-tfrac13+1 + C = u^tfrac23tfrac23 + C = 32,u^tfrac23 + C

Passo 5

Voltando à variável x, temos
u^tfrac23 = (x^3-1)^tfrac23,
logo a primitiva é
32,(x^3-1)^tfrac23 + C

Resposta

32,(x^3-1)^tfrac23 + C

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