Exercício 2.3.2. Resolva as integrais:
Ia=integral 2 x+3x^3+x^2-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ia = integral 2x + 3x^3 + x^2 - 2x,dx
Isso é uma integral de função racional. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 + x^2 - 2x = x,(x^2 + x - 2) = x,(x+2),(x-1)

Passo 3

Procuramos constantes A, B e C tais que
2x + 3x,(x+2),(x-1) = Ax + Bx+2 + Cx-1
Multiplicando ambos os lados por x,(x+2),(x-1), obtemos
2x + 3 = A,(x+2),(x-1) ;+; B,x,(x-1) ;+; C,x,(x+2)

Passo 4

Para determinar A, B e C, avaliamos em valores convenientes de x:
1. Se x=0, então 2cdot0+3=3 e
3 = A,(2)(-1) = -2A Longrightarrow A = -tfrac32
2. Se x=-2, então 2(-2)+3=-1 e
-1 = B,(-2)(-3) = 6B Longrightarrow B = -tfrac16
3. Se x=1, então 2(1)+3=5 e
5 = C,(1)(3) = 3C Longrightarrow C = tfrac53

Passo 5

Com esses valores, a fração original vira
2x + 3x,(x+2),(x-1) = -tfrac32,1x - tfrac16,1x+2 + tfrac53,1x-1
Logo a integral se separa em três partes:
Ia = -tfrac32 integral dxx - tfrac16 integral dxx+2 + tfrac53 integral dxx-1

Passo 6

Cada uma dessas integrais é do tipo integral dxx - a = ln|x-a|. Logo
-tfrac12 integral dxx = -tfrac32,ln|x|, -tfrac16 integral dxx+2 = -tfrac16,ln|x+2|, tfrac53 integral dxx-1 = tfrac53,ln|x-1|
Somando e incluindo a constante de integração C, chegamos à forma final.

Resposta

Ia = -tfrac32,ln|x| - tfrac16,ln|x+2| + tfrac53,ln|x-1| + C

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