Q 25 Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
integral raiz5 t^4+t^2 d t;

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
raiz5t^4 + t^2
usando uma mudança de variável. O conteúdo aqui é reconhecer uma fatoração dentro da raiz e aplicar uma substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Dentro da raiz temos
5t^4 + t^2 = t^2,(5t^2 + 1),
logo
raiz5t^4 + t^2 = raizt^2,raiz5t^2 + 1 = |t|raiz5t^2+1
Para simplificar, vamos supor t>=0, de modo que |t|=t. Assim a integral vira
integral raiz5t^4 + t^2,dt = integral traiz5t^2+1,dt

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 5t^2 + 1,
então
du = 10t,dt Longrightarrow t,dt = du10
Substituindo na integral,
integral traiz5t^2+1,dt = integral raizu,du10 = 110integral u^tfrac12,du

Passo 4

Calculamos a primitiva em u:
110integral u^tfrac12,du = 110cdotu^tfrac32tfrac32 = 110cdot23u^tfrac32 = 115u^tfrac32+C

Passo 5

Voltando para t, temos u=5t^2+1, logo
integral raiz5t^4 + t^2,dt = 115l(5t^2+1r)^tfrac32+C

Resposta

115l(5t^2+1r)^tfrac32+C

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