Exercício 2.3.2. Resolva as integrais:
Ie=integral 1x^3+8 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ie=integral 1x^3+8,dx
Isso envolve frações parciais (pois x^3+8 é soma de cubos) e depois integrais que resultam em logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador como soma de cubos:
x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)
Em seguida fazemos a decomposição em frações parciais:
1x^3+8 = Ax+2 + Bx+Cx^2-2x+4
Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x^2-2x+4) e igualando numeradores, obtemos a identidade
1 = A,(x^2-2x+4) + (Bx+C),(x+2)

Passo 3

Desenvolvendo o lado direito e agrupando termos em x^2, x e constante, temos
1 = (A+B),x^2 +(-2A+2B+C),x + (4A+2C)
Igualando coeficientes a 1 no lado esquerdo (que é 0x^2+0x+1), surge o sistema
A+B = 0, -2A+2B+C = 0, 4A+2C = 1
Resolvendo, achamos
A = tfrac112, B = -tfrac112, C = tfrac13

Passo 4

Substituindo esses coeficientes na decomposição, a integral vira
Ie = integral!l(1/12x+2 + -tfrac112x+tfrac13x^2-2x+4r),dx
Ou seja,
Ie = 112integraldxx+2 - 112integralx,dxx^2-2x+4 + 13integraldxx^2-2x+4
Para tratar integral x/(x^2-2x+4),dx, escrevemos x=(x-1)+1. Além disso completamos o quadrado em x^2-2x+4=(x-1)^2+3.

Passo 5

Agora cada integral é padrão:
1. integraldxx+2 = lnlvert x+2rvert 2. integralx-1(x-1)^2+3,dx = tfrac12lnl((x-1)^2+3r) 3. integraldx(x-1)^2+3 = 1raiz3arctan!l(tfracx-1raiz3r)
Reagrupando os coeficientes, obtemos
Ie = 112lnlvert x+2rvert - 124lnl((x-1)^2+3r) + 14raiz3arctan!l(tfracx-1raiz3r) + C

Resposta

Ie = 112lnlvert x+2rvert - 124lnl((x-1)^2+3r) + 14raiz3arctan!l(tfracx-1raiz3r) + C

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