Exercício 2.3.2. Resolva as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Isso envolve frações parciais (pois
é soma de cubos) e depois integrais que resultam em logaritmo e arco-tangente.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador como soma de cubos:
Em seguida fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
e igualando numeradores, obtemos a identidade
Passo 3
Desenvolvendo o lado direito e agrupando termos em
,
e constante, temos
Igualando coeficientes a
no lado esquerdo (que é
), surge o sistema
Resolvendo, achamos
Passo 4
Substituindo esses coeficientes na decomposição, a integral vira
Ou seja,
Para tratar
integral x/(x^2-2x+4),dx , escrevemos
x=(x-1)+1 . Além disso completamos o quadrado em
x^2-2x+4=(x-1)^2+3 .
Passo 5
Agora cada integral é padrão:
1 .
integraldxx+2 = lnlvert x+2rvert 2 .
integralx-1(x-1)^2+3,dx = tfrac12lnl((x-1)^2+3r) 3 .
integraldx(x-1)^2+3 = 1raiz3arctan!l(tfracx-1raiz3r)
Reagrupando os coeficientes, obtemos
Reagrupando os coeficientes, obtemos