Q 25 Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
integral sen(2 x)[7-sen^2(x)]^3 d x;

Passo 1

O enunciado pede para achar uma primitiva de
integral sen(2x)l[7-sen^2(x)r]^3,dx,
utilizando uma substituição adequada. Vamos usar a identidade sen(2x)=2sen xcos x e escolher u=sen^2(x), pois sua diferencial dá exatamente 2sen xcos x,dx.

Passo 2

Reescrevendo o integrando com a identidade trigonométrica, temos
integral sen(2x)l[7-sen^2(x)r]^3,dx =integral 2sen xcos xl[7-sen^2(x)r]^3,dx
Observamos que a escolha u=sen^2(x) leva a
du = 2sen xcos x,dx

Passo 3

Fazendo u=sen^2(x) e du=2sen xcos x,dx, a integral passa a ser
integral du(7-u)^3

Passo 4

Para integrar integral (7-u)^-3,du, aplicamos a regra de potência:
integral (7-u)^-3,du =(7-u)^-22+C,
pois dfracddul[(7-u)^-2r]=2(7-u)^-3.

Passo 5

Voltando à variável x, u=sen^2(x), obtemos a primitiva
12,(7-sen^2(x))^2+C

Resposta

12,(7-sen^2(x))^2+C

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