Exemplo 2.4.1. Calcule as integrais:
Ib=integral raizxx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral raizxx+1,dx
O conteúdo é técnica de integração por substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx, x = t^2, dx = 2t,dt

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral raizxx+1,dx = integral tt^2+1cdot 2t,dt = 2integral t^2t^2+1,dt

Passo 4

Escrevemos
t^2t^2+1 = 1 - 1t^2+1,
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2integral t^2t^2+1,dt =2integral(1-1t^2+1)dt =2integral dt - 2integral dtt^2+1

Passo 5

Calculando cada parte:
2integral dt = 2t, 2integral dtt^2+1 = 2arctan(t)
Assim a primitiva é
2t - 2arctan(t) + C

Passo 6

Voltando a x via t=raizx, concluímos
integral raizxx+1,dx = 2raizx - 2arctan(raizx) + C

Resposta

2raizx - 2arctan(raizx) + C

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