(1,25 ponto) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y=12 x^2 no intervalo [0;1].

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o comprimento de arco da curva y = 12x^2 no intervalo [0,1]. O conteúdo é comprimento de arco de curvas, e vamos precisar da fórmula L = integrala^b raiz1 + (y')^2, dx e da derivada de y.

Passo 2

Calculamos a derivada da função: para y = 12x^2 temos y' = x. Substituindo na fórmula de comprimento de arco com a = 0 e b = 1, obtemos L = integral0^1 raiz1 + x^2, dx.

Passo 3

Para resolver a integral integral0^1 raiz1 + x^2, dx, usamos a primitiva conhecida: integral raiz1 + x^2, dx = x2raiz1 + x^2 + 12lnl|x + raiz1 + x^2r| + C.

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva de 0 a 1: L = [x2raiz1 + x^2 + 12lnl(x + raiz1 + x^2r)]0^1 = raiz22 + 12ln(1 + raiz2).

Resposta

raiz22 + 12ln(1 + raiz2)

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