Dada F(s)=mathscrL(f), obtenha f(t)(L, m, k, a e b são constantes).
F(s)=1(s+a)(s+b)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(t) cuja Transformada de Laplace é
F(s)=mathscrLf(s)=1(s+a)(s+b)
Aqui o conteúdo é Transformada Inversa de Laplace; vamos usar decomposição em frações parciais e a tabela básica de inversão.

Passo 2

Começamos a decompor F(s) em frações parciais. Queremos A e B tais que
1(s+a)(s+b)=As+a+Bs+b
Multiplicando ambos os lados por (s+a)(s+b)
1 = A(s+b)+B(s+a) = (A+B)s + (bA+aB)
Igualando coeficientes de s e termo constante, temos:
A+B=0,
bA+aB=1
Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
bA + a(-A) = A(b-a) = 1 implies A = 1b-a, B = -1b-a
Logo,
F(s)=1b-a1s+a-1b-a1s+b

Passo 3

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace usando que mathscrL^-11/(s+alpha)=e^-alpha t e linearidade:
f(t)=1b-ae^-a t-1b-ae^-b t = e^-a t-e^-b tb-a

Resposta

f(t)=e^-a t-e^-b tb-a

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