Faça o que pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que:
lim x 0 1-sec xx^2=-12

Passo 1

Vamos calcular o limite limxto 01-sec xx^2. O assunto é limites usando aproximações locais e vamos precisar da expansão de Taylor de cos x até a ordem x^2, sem recorrer à regra de L’Hospital.

Passo 2

Sabemos o limite fundamental limxto01-cos xx^2=12. Com isso, escrevemos
cos x = 1 - x^22 + r(x),
onde r(x) é um resto tal que limxto0r(x)x^2=0.

Passo 3

Como sec x=1/cos x, temos
sec x = 11 - x^22 + r(x)
Para y pequeno vale 1/(1-y)=1+y+o(y). Aqui y=x^22-r(x), que tende a zero quando xto0. Logo
sec x = 1 + l(tfracx^22-r(x)r) + o(x^2) = 1 + x^22 + o(x^2)

Passo 4

Substituindo em 1-sec x obtemos
1-sec x = -x^22 + o(x^2)
Dividindo por x^2
1-sec xx^2 = -12 + o(x^2)x^2 = -12 + o(1)
Como o(1)to0 quando xto0, o limite é -tfrac12.

Resposta

-1/2

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