(1,25 ponto) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y=raizx no intervalo [0;4].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva definida por y=√x no intervalo de x=0 até x=4. O tema aqui é comprimento de curva no plano, e vamos precisar da fórmula do comprimento de arco de uma função y=f(x):
Seja y=f(x), então
L=integrala^braiz1+[f'(x)]^2,dx

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada da função. Como y=√x=x^{1/2}, temos
f'(x)=12raizx=12x^-1/2
Essa derivada vai entrar dentro da raiz na fórmula do comprimento.

Passo 3

Substituímos f’(x) em 1+[f’(x)]^2:
1+[f'(x)]^2=1+gl(12raizxgr)^2=1+14x=4x+14x
Logo o integrando fica:
raiz1+[f'(x)]^2=raiz4x+14x=raiz4x+12raizx

Passo 4

Montamos a integral do comprimento de arco:
L=integral0^4raiz4x+12raizx,dx
Para facilitar, fazemos a substituição u=√x, logo x=u^2 e dx=2u,du. Quando x vai de 0 a 4, u vai de 0 a 2.

Passo 5

Sob essa troca, o integrando vira:
raiz4(u^2)+12ucdot(2u),du=raiz4u^2+1,du
Portanto a integral simplifica para
L=integral0^2raiz4u^2+1,du

Passo 6

Agora usamos a integral conhecida
integralraiz4u^2+1,du=u2raiz4u^2+1+14lnl(2u+raiz4u^2+1r)+C
Aplicando os limites de 0 a 2, temos:

Passo 7

Para u=2:
22raiz4cdot4+1+14lnl(4+raiz17r)=raiz17+14lnl(4+raiz17r)
Para u=0 o valor é zero, pois ln(1)=0 e o termo em u também anula.

Passo 8

Subtraindo o valor em 0, concluímos que o comprimento de arco é
L=raiz17+14lnl(4+raiz17r)

Resposta

L=raiz17+14lnl(4+raiz17r)

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