(1,25 ponto) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função
no intervalo [0;4].
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva definida por y=√x no intervalo de x=0 até x=4. O tema aqui é comprimento de curva no plano, e vamos precisar da fórmula do comprimento de arco de uma função y=f(x):
Seja y=f(x), então
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada da função. Como y=√x=x^{1/2}, temos
Essa derivada vai entrar dentro da raiz na fórmula do comprimento.
Passo 3
Substituímos f’(x) em 1+[f’(x)]^2:
Logo o integrando fica:
Passo 4
Montamos a integral do comprimento de arco:
Para facilitar, fazemos a substituição u=√x, logo x=u^2 e dx=2u,du. Quando x vai de 0 a 4, u vai de 0 a 2.
Passo 5
Sob essa troca, o integrando vira:
Portanto a integral simplifica para
Passo 6
Agora usamos a integral conhecida
Aplicando os limites de 0 a 2, temos:
Passo 7
Para u=2:
Para u=0 o valor é zero, pois ln(1)=0 e o termo em u também anula.
Passo 8
Subtraindo o valor em 0, concluímos que o comprimento de arco é