Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace.
y^prime prime-y^prime-6 y=0, y(0)=6, y^prime(0)=13

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y''-y'-6y=0 com condições iniciais y(0)=6 e y'(0)=13 usando transformada de Laplace. O conteúdo envolve usar as fórmulas de transformada de derivadas e tabelas de transformadas.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Usando Y(s)=Ly(t), temos a transformada de derivadas:
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s)
Substituindo na EDO:
(s^2Y(s)-scdot6-13)-(sY(s)-6)-6Y(s)=0

Passo 3

Substituir as condições iniciais e agrupar os termos em Y(s). A equação vira:
s^2Y(s)-6s-13 -sY(s)+6 -6Y(s)=0
Logo
Y(s)(s^2 -s -6)=6s+7,
portanto
Y(s)=6s+7(s-3)(s+2)

Passo 4

Fazer frações parciais em Y(s)=dfrac6s+7(s-3)(s+2)=dfracAs-3+dfracBs+2
Multiplicando em cruz:
6s+7=A(s+2)+B(s-3)
Igualando coeficientes:
A+B=6, 2A-3B=7
Resolve-se e encontra-se A=5 e B=1, logo
Y(s)=5s-3+1s+2

Passo 5

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando L^-11/(s-a)=e^at. Assim
y(t)=5e^3t+1,e^-2t=5e^3t+e^-2t

Resposta

y(t)=5e^3t+e^-2t

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