Calcule para os seguintes dados. Se é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de . Esboce C.
, C é a parábola de a

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha integralCvec F(vec r)cdot dvec r onde vec F=(y^3,x^3) e C é a parábola y=5x^2 de A=(0,0) a B=(2,20). Isso cai na matéria de integrais de linha de campos vetoriais não-conservativos, então vamos parametrizar a curva, achar vec F(vec r(t)) e dvec r, e depois integrar.

Passo 2

Para parametrizar C, tomamos x=t, y=5t^2 com t variando de 0 a 2. Assim vec r(t)=(t,5t^2) e
dvec r=(dx,dy)=(1,10t),dt

Passo 3

Substituindo em vec F, obtemos
vec F(vec r(t))=( (5t^2)^3, t^3 )=(125,t^6,,t^3)
O produto escalar é
vec Fcdot dvec r=125t^6,dt + t^3cdot(10t,dt)=l(125t^6 +10t^4r)dt

Passo 4

Agora integramos de t=0 a t=2:
integral0^2l(125t^6 +10t^4r)dt =125integral0^2t^6dt +10integral0^2t^4dt =125t^77|0^2 +10t^55|0^2 =125cdot2^77 +2cdot2^5 =160007+64 =164487

Passo 5

Para esboçar C, note que é uma parábola que se abre para cima, passa por (0,0) e atinge (2,20).

Resposta

164487

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