(1,25 ponto)
Considere a função f: R^2 R dada por f(x, y)=x^4+y^4-4 x y e o ponto p=(1,1). O ponto p é um ponto crítico de f ? Se for, determine se ele é um ponto de máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^4+y^4-4xy
e o ponto p=(1,1). A tarefa é verificar se p é ponto crítico de f e, em caso afirmativo, classificá-lo como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente e depois o Hessiano para testar a natureza do ponto crítico.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=4x^3-4y, partial fpartial y(x,y)=4y^3-4x

Passo 3

Avaliar o gradiente em p=(1,1):
partial fpartial x(1,1)=4cdot1^3-4cdot1=4-4=0, partial fpartial y(1,1)=4cdot1^3-4cdot1=4-4=0
Como ambas as derivadas parciais são zero, p é ponto crítico de f.

Passo 4

Construir o Hessiano de f:
Hf(x,y)= partial^2fpartial x^2 & partial^2fpartial xpartial y partial^2fpartial ypartial x & partial^2fpartial y^2 = 12x^2 & -4 -4 & 12y^2
Em p=(1,1) temos
Hf(1,1)= 12 & -4 -4 & 12
Os menores principais são
D1=12>0, D2=det Hf(1,1)=12cdot12 - (-4)^2=144-16=128>0
Como D1>0 e D2>0, o Hessiano é definido positivo em p, indicando que p é ponto de mínimo local.

Resposta

Sim, p=(1,1) é ponto crítico de f e é um ponto de mínimo local.

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