Considere a função f: R^3 R dada por f(x, y, z)=e^(x+y)+sen(y+z). Observando que f(0,0,0)=1 e partial fpartial z(0,0,0) neq 0 , concluímos, pelo teorema da função implícita, que existe uma função g: Omega R de classe C^infty definida num aberto Omega subset R^2 que contém 0 tal que e^(x+y)+sen(y+g(x, y))=1 e g(0)=0, forall(x, y) in Omega, ou seja, z=g(x, y).
(1,25 ponto) a) Calcule partial gpartial x(x, y) e partial gpartial y(x, y) como função de x, y e z.
(1,25 ponto) b) Calcule partial^2 gpartial x partial y(x, y) como função de x, y e z.

Passo 1

O enunciado trata de aplicar o Teorema da Função Implícita à função
f(x,y,z)=e^(x+y)+sen(y+z)
para obter z=g(x,y) tal que
fl(x,y,g(x,y)r)=1
Queremos as derivadas parciais de g:
a) partial gpartial x(x,y) e partial gpartial y(x,y);
b) partial^2gpartial xpartial y(x,y).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de f em termos de (x,y,z):
partial fpartial x(x,y,z) =partialpartial xe^(x+y)=e^(x+y),
partial fpartial y(x,y,z) =partialpartial ye^(x+y)+partialpartial ysen(y+z) =e^(x+y)+cos(y+z),
partial fpartial z(x,y,z) =rm drm dzsen(y+z)=cos(y+z)

Passo 3

Da condição implícita
fl(x,y,g(x,y)r)=1
vem, por diferenciação parcial,
0=partial fpartial x+ partial fpartial z,partial gpartial x, 0=partial fpartial y+ partial fpartial z,partial gpartial y
Resolvendo para partial g/partial x e partial g/partial y obtemos
partial gpartial x(x,y) =-fxfz =-e^(x+y)cos(y+z),
partial gpartial y(x,y) =-fyfz =-e^(x+y)+cos(y+z)cos(y+z) =-e^(x+y)cos(y+z);-;1

Passo 4

Para achar a derivada mista
partial^2g/partial xpartial y derivamos
partial g/partial x=-e^(x+y)/cos(y+z) em relação a y.
Defina
A(x,y)=e^(x+y), B(y,z)=cos(y+z),
então partial g/partial x=-A/B.
Usando a regra do quociente e lembrando que z=g(x,y),
partial^2 gpartial xpartial y =partialpartial yl(-ABr) =-l(Ay,B - A,ByB^2r)
Aqui
Ay=A, By=partialpartial ycos(y+z) =-sin(y+z)l(1+tfracpartial gpartial yr)

Passo 5

Substituindo em cima:
partial^2 gpartial xpartial y =-Acdot B - Al[-sin(y+z)(1+gy)r]B^2 =-A,BB^2 ;-;A,sin(y+z),(1+gy)B^2
Como A=e^(x+y), B=cos(y+z) e
1+gy =1-e^(x+y)+cos(y+z)cos(y+z) =-e^(x+y)cos(y+z) =-AB,
segue
partial^2 gpartial xpartial y =-AB -A,sin(y+z),l(-tfracABr)B^2 =-e^(x+y)cos(y+z) +e^2(x+y)sin(y+z)cos^3(y+z)

Resposta

partial gpartial x(x,y) =-e^(x+y)cos(y+z), partial gpartial y(x,y) =-e^(x+y)cos(y+z)-1,
partial^2 gpartial xpartial y(x,y) =-e^(x+y)cos(y+z) +e^2(x+y)sin(y+z)cos^3(y+z)

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