Considere a função
dada por
. Observando que
e
0 , concluímos, pelo teorema da função implícita, que existe uma função
de classe
definida num aberto
que contém 0 tal que
e
, ou seja,
.
ponto) a) Calcule
e
como função de
e
.
ponto) b) Calcule
como função de
e
.
Passo 1
O enunciado trata de aplicar o Teorema da Função Implícita à função
para obter
tal que
Queremos as derivadas parciais de
:
a) e
;
b) .
a)
b)
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de
em termos de
:
Passo 3
Da condição implícita
vem, por diferenciação parcial,
Resolvendo para
e
obtemos
Passo 4
Para achar a derivada mista
derivamos
em relação a
.
Defina
Defina
então
.
Usando a regra do quociente e lembrando que
,
Aqui
Passo 5
Substituindo em cima:
Como
,
e
segue