(1,25 ponto)
Considere a superfície S em R^3 definida pela equação z^2-10 x y=1. Ache os pontos de S cuja distância à origem de R^3 seja a menor possível. Calcule essa distância.

Passo 1

Estamos buscando os pontos de
S=(x,y,z)inR^3mid z^2-10,x,y=1
mais próximos da origem. Isso equivale a minimizar a distância ao quadrado
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeito à restrição
g(x,y,z)=z^2-10,x,y-1=0
Vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Formamos o sistema
nabla f = lambda,nabla g
isto é
2x = lambda(-10y), 2y = lambda(-10x), 2z = lambda(2z), z^2 - 10,x,y = 1

Passo 3

Da terceira equação vem
2z = 2lambda z ;Longrightarrow; z,(1-lambda)=0,
logo temos duas possibilidades: zneq0 com lambda=1, ou z=0.

Passo 4

Caso zneq0: então lambda=1 e as duas primeiras equações dão
2x = -10y, 2y = -10x ;Longrightarrow; x=-5y,;y=-5x ;Longrightarrow; x=y=0
Da restrição z^2-10cdot0cdot0=1 segue z=pm1. Logo surgem os pontos
(0,0,1) e (0,0,-1) com distância raiz1=1.

Passo 5

Caso z=0: a restrição vira
-10,x,y = 1 ;Longrightarrow; x,y = -tfrac110
Queremos minimizar
x^2+y^2
com xy=-tfrac110. Colocando x=t, vem y=-tfrac110t e
S(t)=t^2+1100,t^2
Derivando e igualando a zero:
S'(t)=2t - 2100,t^3=0 ;Longrightarrow; t^4=1100 ;Longrightarrow; t=pm1raiz10
Então
x=pm1raiz10, y=-110,x=mp1raiz10, z=0

Passo 6

Nesses pontos
x^2+y^2 = 110+110=15,
logo a distância mínima é
raiz15 = 1raiz5,
que é menor que 1. Portanto o mínimo global ocorre quando z=0.

Resposta

Os pontos de S mais próximos da origem são
l(tfrac1raiz10,-tfrac1raiz10,0r) e l(-tfrac1raiz10,tfrac1raiz10,0r),
e a distância mínima é tfrac1raiz5.

Exercícios relacionados