Uma fita de latão (
) é 1,4 cm maior que uma fita de aluminio (
) de 22,4 m quando ambas estão à temperatura de
. Em qual temperatura em Celsius o comprimento das fitas será igual?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Coeficiente de dilatação linear do latão:
. - Coeficiente de dilatação linear do alumínio:
. - Temperatura inicial comum:
. - Comprimento da fita de alumínio à temperatura
: . - A fita de latão é
maior que a de alumínio quando ambas estão a . (Observe que .)
- Coeficiente de dilatação linear do latão:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a temperatura (em graus Celsius) em que os comprimentos das duas fitas serão iguais.
Passo 2
Relembrando a fórmula de dilatação linear e o que cada símbolo significa.
- Para um corpo com comprimento inicial
à temperatura , o comprimento à temperatura é dado por:
- Onde:
-
é o comprimento à temperatura . -
é o comprimento à temperatura de referência . -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade: ). -
é a variação de temperatura (em ).
-
Essa fórmula vem da suposição de dilatação linear pequena e constante do material na faixa de temperaturas considerada — é a fórmula padrão que se usa em provas.
Passo 3
Definir os comprimentos iniciais à temperatura
e converter unidades.
- Comprimento da fita de alumínio em
:
- Comprimento da fita de latão em
: é maior que a de alumínio, logo
- Para clareza, os coeficientes são:
Passo 4
Escrever a igualdade dos comprimentos à temperatura desconhecida
usando a fórmula da dilatação.
Queremos
. Aplicando a fórmula para cada fita, com
:
Agora vamos substituir os valores numéricos conhecidos.
Passo 5
Substituir números e organizar a equação para isolar
.
Substituindo
,
,
e
:
Expandindo ambos os lados:
Colocando todos os termos na mesma lado e isolando o termo com
:
Calcular os números:
Calcular os coeficientes multiplicativos (mostrando a conta):
Portanto a diferença é
Substituindo esses valores na equação:
Passo 6
Resolver a equação para
.
Isolando
:
Multiplicando por
:
Logo
Fazendo a divisão:
Portanto
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
Passo 7
Interpretação rápida e checagem mental (útil para a prova): o resultado mostra uma temperatura bem maior que
. Isso faz sentido porque o alumínio tem coeficiente maior (
), então, apesar de o latão começar um pouco mais longo, ao aquecer o alumínio cresce mais rápido e precisa-se subir bastante a temperatura para que os comprimentos coincidam.