Uma fita de latão ( \alpha_{\text {hatao }}=19 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) é 1,4 cm maior que uma fita de aluminio ( \alpha_{\text {al }}=24 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) de 22,4 m quando ambas estão à temperatura de 11{ }^{\circ} \mathrm{C}. Em qual temperatura em Celsius o comprimento das fitas será igual?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Coeficiente de dilatação linear do latão: \alpha_{\text{latão}} = 19\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}ã.
    • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha_{\text{al}} = 24\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Temperatura inicial comum: 11^\circ\mathrm{C}.
    • Comprimento da fita de alumínio à temperatura 11^\circ\mathrm{C}: L_{\text{al}}(11^\circ\mathrm{C}) = 22,4\\ \mathrm{m}.
    • A fita de latão é 1,4\\ \mathrm{cm} maior que a de alumínio quando ambas estão a 11^\circ\mathrm{C}. (Observe que 1,4\\ \mathrm{cm} = 0,014\\ \mathrm{m}.)
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a temperatura (em graus Celsius) em que os comprimentos das duas fitas serão iguais.

Passo 2

Relembrando a fórmula de dilatação linear e o que cada símbolo significa.
  • Para um corpo com comprimento inicial L_0 à temperatura T_0, o comprimento à temperatura T é dado por:
L(T)=L_0\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr].
  • Onde:
    • L(T) é o comprimento à temperatura T.
    • L_0 é o comprimento à temperatura de referência T_0.
    • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1}).
    • T-T_0 é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
Essa fórmula vem da suposição de dilatação linear pequena e constante do material na faixa de temperaturas considerada — é a fórmula padrão que se usa em provas.

Passo 3

Definir os comprimentos iniciais à temperatura T_0=11^\circ\mathrm{C} e converter unidades.
  • Comprimento da fita de alumínio em 11^\circ\mathrm{C}:
L_{\text{al},0}=L_{\text{al}}(11^\circ\mathrm{C})=22,4\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da fita de latão em 11^\circ\mathrm{C}: é 1,4\\ \mathrm{cm} maior que a de alumínio, logo
L_{\text{lat},0}=22,4\\ \mathrm{m}+0,014\\ \mathrm{m}=22,414\\ \mathrm{m}.
  • Para clareza, os coeficientes são:
\alpha_{\text{lat}}=19\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},\qquad \alpha_{\text{al}}=24\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Escrever a igualdade dos comprimentos à temperatura desconhecida T usando a fórmula da dilatação.
Queremos L_{\text{lat}}(T)=L_{\text{al}}(T). Aplicando a fórmula para cada fita, com T_0=11^\circ\mathrm{C}:
L_{\text{lat},0}\bigl[1+\alpha_{\text{lat}}(T-11)\bigr]=L_{\text{al},0}\bigl[1+\alpha_{\text{al}}(T-11)\bigr].
Agora vamos substituir os valores numéricos conhecidos.

Passo 5

Substituir números e organizar a equação para isolar T.
Substituindo L_{\text{lat},0}=22,414\\ \mathrm{m}, L_{\text{al},0}=22,4\\ \mathrm{m}, \alpha_{\text{lat}}=19\times10^{-6} e \alpha_{\text{al}}=24\times10^{-6}:
22,414\bigl[1+(19\times10^{-6})(T-11)\bigr]=22,4\bigl[1+(24\times10^{-6})(T-11)\bigr].
Expandindo ambos os lados:
22,414 + 22,414\cdot19\times10^{-6}\,(T-11)=22,4 + 22,4\cdot24\times10^{-6}\,(T-11).
Colocando todos os termos na mesma lado e isolando o termo com (T-11):
22,414-22,4 + \Bigl(22,414\cdot19\times10^{-6}-22,4\cdot24\times10^{-6}\Bigr)(T-11)=0.
Calcular os números:
22,414-22,4=0,014.
Calcular os coeficientes multiplicativos (mostrando a conta):
22,414\cdot19\times10^{-6}=425,866\times10^{-6}=0,000425866,
22,4\cdot24\times10^{-6}=537,6\times10^{-6}=0,0005376.
Portanto a diferença é
22,414\cdot19\times10^{-6}-22,4\cdot24\times10^{-6}=0,000425866-0,0005376=-0,000111734.
Substituindo esses valores na equação:
0,014 + (-0,000111734)(T-11)=0.

Passo 6

Resolver a equação para T.
Isolando (T-11):
-0,000111734\,(T-11)=-0,014.
Multiplicando por -1:
0,000111734\,(T-11)=0,014.
Logo
T-11=\dfrac{0,014}{0,000111734}.
Fazendo a divisão:
T-11\approx125,333\ldots
Portanto
T\approx11+125,333\ldots=136,333\ldots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
T\approx136,33^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem mental (útil para a prova): o resultado mostra uma temperatura bem maior que 11^\circ\mathrm{C}. Isso faz sentido porque o alumínio tem coeficiente maior ( \alpha_{\text{al}}> \alpha_{\text{lat}}), então, apesar de o latão começar um pouco mais longo, ao aquecer o alumínio cresce mais rápido e precisa-se subir bastante a temperatura para que os comprimentos coincidam.

Resposta

136{,}33^\circ\mathrm{C}

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