Execute a seguinte operação e forneça o resultado com a sua incerteza:
(\mathbf{1 , 1 0} \pm \mathbf{0 , 0 3})^{\mathbf{2}} \boldsymbol{/}(\mathbf{3 , 0 0 5} \pm \mathbf{0 , 0 0 4})
(Dica: consulte a tabela de fórmulas de propagação de erros)
Escolha uma opção:
◯ a. 0,402662 \pm 0,0225695
◯ b. 0,4 \pm 0,02
◯ c. 0,4 \pm 0,02
◯ d. 0,4 \pm 0,1
◯ e. 0,40 \pm 0,02

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão e a sua incerteza para a grandeza
f=\frac{x^{2}}{y}
usando os dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • x = 1,10 com incerteza \sigma_x = 0,03.
  • y = 3,005 com incerteza \sigma_y = 0,004.
O que se quer: o valor numérico de f e sua incerteza \sigma_f, para depois escolher a opção correta entre as alternativas dadas.

Passo 2

Fórmula de propagação de erros (explicação didática):
Se uma função f depende de variáveis independentes x e y, e as incertezas são pequenas e independentes, uma maneira prática de obter a incerteza de f é usar a aproximação pela soma quadrática das derivadas parciais:
\sigma_f = \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\sigma_x\right)^{2} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\sigma_y\right)^{2}}.
Explicando: \partial f/\partial x mede quanto f muda quando x muda; multiplicando por \sigma_x obtemos a contribuição absoluta de x para a incerteza de f. Fazemos o mesmo para y e somamos em quadratura (porque assumimos erros independentes e gaussianos pequenos).
Para funções do tipo produto/potência é comum usar a forma relativa: se f = x^{a}y^{b} então
\left(\frac{\sigma_f}{f}\right)^{2} = \left(a\frac{\sigma_x}{x}\right)^{2} + \left(b\frac{\sigma_y}{y}\right)^{2}.
No nosso caso f = x^{2} y^{-1}, logo a=2 e b=-1, e
\left(\frac{\sigma_f}{f}\right)^{2} = \left(2\frac{\sigma_x}{x}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^{2}.
Isso é equivalente à fórmula com derivadas parciais; escolhi esta forma porque é mais direta aqui.

Passo 3

Calcular o valor nominal (central) de f passo a passo, usando frações para ficar exato:
x = 1,10 = \frac{11}{10},\qquad y = 3,005 = \frac{3005}{1000} = \frac{601}{200}.
x^{2} = \frac{11^{2}}{10^{2}}=\frac{121}{100}.
f=\frac{x^{2}}{y}=\frac{\tfrac{121}{100}}{\tfrac{601}{200}}=\frac{121}{100}\cdot\frac{200}{601}=\frac{242}{601}.
Agora a forma decimal (aproximação):
f=\frac{242}{601}\approx 0,402662\\ (\text{valores mostrados com 6 casas decimais para clareza}).

Passo 4

Calcular a incerteza relativa usando
\left(\frac{\sigma_f}{f}\right)^{2}=\left(2\frac{\sigma_x}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^{2}.
Substituindo os valores (mostrando cada termo):
2\frac{\sigma_x}{x}=2\cdot\frac{0,03}{1,10}=\frac{0,06}{1,10}=0,054545\ldots
\left(2\frac{\sigma_x}{x}\right)^{2}=(0,054545\ldots)^{2}\approx 0,0029752066.
\frac{\sigma_y}{y}=\frac{0,004}{3,005}\approx 0,0013311148
\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^{2}\approx 0,0000017720.
Somando:
\left(\frac{\sigma_f}{f}\right)^{2}\approx 0,0029752066+0,0000017720=0,0029769786.
Tirando raiz:
\frac{\sigma_f}{f}\approx\sqrt{0,0029769786}\approx 0,0545681.

Passo 5

Agora obtenho a incerteza absoluta \sigma_f:
\sigma_f = f\cdot\frac{\sigma_f}{f}\approx 0,402662\cdot 0,0545681\approx 0,02197\\ (\text{aprox.})
Portanto o resultado com incerteza, antes de arredondar para apresentação conveniente, é
f\approx 0,402662\pm 0,02197.

Passo 6

Regras de apresentação: a incerteza normalmente é escrita com 1 ou 2 algarismos significativos; aqui \sigma_f\approx 0,02197 rende, com 2 algarismos significativos, \sigma_f\approx 0,02. Ajustando o valor central para ter o mesmo número de casas decimais que a incerteza, obtemos
f \approx 0,40 \pm 0,02.
Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde é a opção (e) que mostra exatamente esse formato.

Resposta

e. 0,40 \pm 0,02

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