(1,25 ponto) Represente graficamente e calcule a área da região limitada pela curva y=4-x^2 e o eixo x no intervalo 0 <= x <= 3.

Passo 1

O exercício pede a área da região limitada pela curva y=4-x^2 e o eixo x no intervalo 0<= x<=3. O conteúdo aqui é cálculo de área pelo método das integrais definidas, lembrando que quando a curva cruza o eixo x precisamos considerar valor absoluto para obter a área geométrica.

Passo 2

Para entender onde a curva fica acima ou abaixo do eixo x, vamos esboçar seu gráfico: é uma parábola com vértice em (0,4) e raízes em x=pm2. No intervalo [0,3], ela fica acima do eixo de x=0 até x=2 e abaixo de x=2 até x=3.

Passo 3

Como a curva muda de sinal em x=2, dividimos a área em duas partes:
Área1=integral0^2(4-x^2),dx,Á
que corresponde à parte acima do eixo, e
Área2=integral2^3-(4-x^2),dx=integral2^3(x^2-4),dx,Á
para a parte abaixo (tomamos o negativo para ficar positivo).

Passo 4

Calculando a primeira integral:
integral0^2(4-x^2),dx=l[4x-tfracx^33r]0^2=l(8-tfrac83r)-0=tfrac163

Passo 5

Calculando a segunda integral:
integral2^3(x^2-4),dx=l[tfracx^33-4xr]2^3=l(9-12r)-l(tfrac83-8r)=tfrac73

Passo 6

Somando as duas áreas obtemos a área total:
Área total=tfrac163+tfrac73=tfrac233Á

Resposta

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