Encontre todos os pontos críticos das funções abaixo e mostre que estes são ou máximos ou mínimos relativos
c)

Passo 1

Temos a função h(x)=3x^5-5x^3. O que precisamos fazer é encontrar os pontos críticos (onde h'(x)=0 ou não existe) e depois usar o teste da segunda derivada para ver se são máximos ou mínimos (recorrendo ao teste de ordem superior quando h''=0).

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada:
h'(x)=ddx(3x^5-5x^3)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)

Passo 3

Igualando a zero:
15x^2(x^2-1)=0implies x^2=0 ou x^2=1implies x=0,,x=1,,x=-1

Passo 4

Agora a segunda derivada:
h''(x)=ddx(15x^2(x^2-1))=60x^3-30x=30x(2x^2-1)

Passo 5

Avaliando em x=1:
h''(1)=30cdot1cdot(2cdot1^2-1)=30>0, logo há mínimo local em x=1.

Passo 6

Em x=-1:
h''(-1)=30cdot(-1)cdot(2cdot1-1)=-30<0, logo há máximo local em x=-1.

Passo 7

Em x=0:
h''(0)=30cdot0cdot(2cdot0^2-1)=0, o teste falha, então usamos a terceira derivada:
h'''(x)=ddx(30x(2x^2-1))=60(2x^2-1)'cdot x+30(2x^2-1)=180x^2-30

Passo 8

Em x=0: h'''(0)=-30neq0, indicando ponto de inflexão (nem máximo nem mínimo).

Resposta

Os pontos críticos são:
(-1,,h(-1)=2) com máximo local;
(1,,h(1)=-2) com mínimo local;
e (0,,h(0)=0) que é ponto de inflexão (não é extremo).

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