(1,25 ponto) Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y=4 x-x^2 e y=2 x^2-8 x.

Passo 1

Primeiro, resumindo o enunciado: precisamos desenhar as curvas y=4x - x^2 e y=2x^2 - 8x e calcular a área da região limitada por elas. O conteúdo aplicado é área entre curvas, que exige encontrar interseções, determinar qual função está acima e usar integração definida.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções: 4x - x^2 = 2x^2 - 8x. Reorganizando, obtemos
3x^2 - 12x = 0
que fatorado dá 3x(x - 4) = 0. Assim, x=0 e x=4. Calculando y em qualquer das curvas, em x=0 temos y=0 e em x=4 temos y=4cdot4 - 4^2 =16 -16=0.

Passo 3

Para saber qual curva fica por cima no intervalo [0,4], analisamos a diferença
(4x - x^2) - (2x^2 - 8x) = 12x - 3x^2 = 3x(4 - x)
que é não negativa em todo o intervalo. Logo, y=4x - x^2 está acima de y=2x^2 - 8x.

Passo 4

Finalmente, a área entre as curvas é dada por
integral0^4 l[(4x - x^2) - (2x^2 - 8x)r] dx = integral0^4 (12x - 3x^2) dx
Calculando,
integral (12x - 3x^2) dx = 6x^2 - x^3
e avaliando de 0 a 4 resulta em
(6cdot4^2 - 4^3) - 0 = (6cdot16 - 64) = 96 - 64 = 32

Resposta

32

Exercícios relacionados