Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar o conjunto A = {(x,y) | |x|≤1 e |y|≤1} em R²: verificar se é aberto e/ou fechado e, por fim, encontrar a sua fronteira. O conteúdo é teoria de topologia métrica (noções de interior, fecho, aberto, fechado e fronteira).
Passo 2
Pela definição, um ponto (x,y) pertence ao interior de A se existir um raio r>0 tal que a bola aberta B_r(x,y) fique inteiramente dentro de A. Se |x|<1 e |y|<1, podemos tomar r = min(1−|x|, 1−|y|)>0. Então
Passo 3
logo A≠int(A), pois os pontos com |x|=1 ou |y|=1 não têm bola totalmente contida. Portanto A não é aberto.
Passo 4
O fecho de A é o menor conjunto fechado que o contém. Como A já contém todos os seus pontos-limite (qualquer sequência em A que converge em R² tem limite em A),
Isso mostra que o complemento de A é aberto, ou seja, A é fechado.
Passo 5
A fronteira de A é definida por ∂A = \overline{A}\setminus int(A). Substituindo temos:
Resposta
O conjunto A é fechado e não é aberto. A sua fronteira é