(1,25 ponto) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume de um tronco de cone circular reto com raios das bases R=7, r=1 e altura h=3.

Passo 1

O problema pede o volume de um tronco de cone circular reto de raio da base maior R=7, raio da base menor r=1 e altura h=3, representando-o graficamente e usando integral definida. Vamos usar o método de seções transversais perpendiculares ao eixo do tronco.

Passo 2

Para calcular volumes por integral definida, usamos o princípio de que o volume de um sólido obtido por revolução é dado por integrar a área das seções transversais. Aqui, cada fatia em x tem formato de círculo de raio R(x), e sua área é A(x)=pil(R(x)r)^2.

Passo 3

Como o tronco é formado cortando-se um cone, o raio varia linearmente de R=7 em x=0 até r=1 em x=h=3. Logo, por semelhança de triângulos,
R(x)=7-7-13,x=7-2x

Passo 4

O volume é então
V=integral0^3A(x),dx=integral0^3pil(7-2xr)^2,dx

Passo 5

Bastam expandir, integrar e substituir os limites:
integral0^3(7-2x)^2,dx=integral0^3(49-28x+4x^2),dx=l[49x-14x^2+tfrac43x^3r]0^3=147-126+36=57

Passo 6

Multiplicando por pi, obtemos o volume final.

Resposta

V=57pi

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