Mostre que o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula de carga
, massa de repouso
, se movendo com velocidade relativística é dada por uma função do potencial acelerador
como:
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de carga
e massa de repouso
que é acelerada por um potencial elétrico
. Pede-se expressar o comprimento de onda de de Broglie
dessa partícula como função de
. Informações fornecidas e o que se quer encontrar:
- Dados:
(assume-se que a partícula parte do repouso e é acelerada através da diferença de potencial ). - Pedido: obter
em função de e constantes universais (por exemplo, e ).
Passo 2
Lembrando a definição de de Broglie: o comprimento de onda associado a uma partícula é dado por
onde
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula. Para obter
precisamos, portanto, encontrar
em função de
.
Passo 3
Energia fornecida pelo potencial: ao ser acelerada por uma diferença de potencial
, a partícula ganha energia cinética igual ao trabalho elétrico realizado:
onde
é a energia cinética adquirida.
Relatividade: a energia cinética relativística está relacionada ao fator de Lorentz
por
com
Igualando as duas expressões para
obtemos
em função de
:
Passo 4
Energia total relativística
da partícula (energia de repouso mais cinética) é
A relação energia-momento relativística é
onde
é o momento linear da partícula e
a velocidade da luz. Isolando
:
Passo 5
Substituindo
na expressão para
:
Dividindo por
para obter
:
Agora fatoramos
dentro da raiz:
Como
, isso simplifica para
Passo 6
Agora usamos
. Substituindo a expressão de
:
Essa é exatamente a forma pedida. (Comentário rápido para motivação: o fator entre parênteses corrige a expressão não-relativística
quando
não é desprezível frente a
.)