Mostre que o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula de carga e, massa de repouso m_{0}, se movendo com velocidade relativística é dada por uma função do potencial acelerador V como:
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m_{0} e V}}\left(1+\frac{e V}{2 m_{0} c^{2}}\right)^{-1 / 2} .

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de carga e e massa de repouso m_{0} que é acelerada por um potencial elétrico V. Pede-se expressar o comprimento de onda de de Broglie \lambda dessa partícula como função de V. Informações fornecidas e o que se quer encontrar:
  • Dados: e,\;m_{0},\;V (assume-se que a partícula parte do repouso e é acelerada através da diferença de potencial V).
  • Pedido: obter \lambda em função de e,\;m_{0},\;V e constantes universais (por exemplo, h e c).

Passo 2

Lembrando a definição de de Broglie: o comprimento de onda associado a uma partícula é dado por
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Para obter \lambda precisamos, portanto, encontrar p em função de V.

Passo 3

Energia fornecida pelo potencial: ao ser acelerada por uma diferença de potencial V, a partícula ganha energia cinética igual ao trabalho elétrico realizado:
T = eV,
onde T é a energia cinética adquirida.
Relatividade: a energia cinética relativística está relacionada ao fator de Lorentz \gamma por
T=(\gamma-1)m_{0}c^{2},
com
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Igualando as duas expressões para T obtemos \gamma em função de V:
\gamma-1=\frac{eV}{m_{0}c^{2}} \quad\Rightarrow\quad \gamma=1+\frac{eV}{m_{0}c^{2}}.

Passo 4

Energia total relativística E da partícula (energia de repouso mais cinética) é
E=\gamma m_{0}c^{2}=m_{0}c^{2}+eV.
A relação energia-momento relativística é
E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2},
onde p é o momento linear da partícula e c a velocidade da luz. Isolando pc:
pc=\sqrt{E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}.

Passo 5

Substituindo E=m_{0}c^{2}+eV na expressão para pc:
pc=\sqrt{(m_{0}c^{2}+eV)^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}} =\sqrt{2m_{0}c^{2}eV+(eV)^{2}}.
Dividindo por c para obter p:
p=\frac{1}{c}\sqrt{2m_{0}c^{2}eV+(eV)^{2}}.
Agora fatoramos 2m_{0}c^{2}eV dentro da raiz:
p=\frac{1}{c}\sqrt{2m_{0}c^{2}eV}\,\sqrt{1+\frac{eV}{2m_{0}c^{2}}}.
Como \sqrt{c^{2}}/c=1, isso simplifica para
p=\sqrt{2m_{0}eV}\,\sqrt{1+\frac{eV}{2m_{0}c^{2}}}.

Passo 6

Agora usamos \lambda=h/p. Substituindo a expressão de p:
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_{0}eV}\,\sqrt{1+\dfrac{eV}{2m_{0}c^{2}}}} =\frac{h}{\sqrt{2m_{0}eV}}\left(1+\frac{eV}{2m_{0}c^{2}}\right)^{-1/2}.
Essa é exatamente a forma pedida. (Comentário rápido para motivação: o fator entre parênteses corrige a expressão não-relativística \lambda\approx h/\sqrt{2m_{0}eV} quando eV não é desprezível frente a m_{0}c^{2}.)

Resposta

\lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m_{0} e V}}\left(1+\frac{e V}{2 m_{0} c^{2}}\right)^{-1 / 2}

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