5- ( 1,25 pontos) Uma caixa retangular de papelão deve ser feita com
de papelão. Usando os conceitos vistos em sala, calcule o volume máximo dessa caixa.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: uma caixa retangular fechada será feita com
de papelão. Isso significa que todo o dobro das áreas das três faces está incluído (ou seja, todas as 6 faces são de papelão). - Pedido: encontrar o volume máximo possível dessa caixa, dado o total de papelão disponível.
Informações extraídas/definições que vou usar (não resolvo nada ainda):
- Chamar as arestas da caixa de
, e (positivas), onde e são dimensões da base e a altura. - A área total de uma caixa retangular fechada é dada por
. - O volume da caixa é
.
Passo 2
Escrever as equações que relacionam as variáveis usando as definições:
- Restrição (área total conhecida): a área total é
, então
Dividindo por
,
Aqui cada termo
,
,
é a área de uma face; somando-os e multiplicando por
obtemos as seis faces.
- Função objetivo (volume a maximizar):
Queremos encontrar
que maximizem
sujeitas à restrição
.
Passo 3
Escolha do método e por quê.
Opções comuns: argumento de simetria (mostrar que o máximo ocorre quando as três dimensões são iguais) ou multiplicadores de Lagrange (método sistemático de otimização com restrição). Vou usar multiplicadores de Lagrange porque é um procedimento direto e generalizável e permite justificar de forma limpa por que as dimensões ficam iguais no máximo. Depois comento a interpretação geométrica (resultado: caixa ótima é um cubo).
Breve explicação do método de Lagrange (didática):
- Quando queremos maximizar uma função
sujeita a uma restrição , os pontos extremos interiores satisfazem que o gradiente de é paralelo ao gradiente de : . O número é o multiplicador de Lagrange; não é necessário interpretar fisicamente, basta usá-lo para obter equações que determinam .
Passo 4
Montar a função Lagrangiana e calcular as equações necessárias.
Defino a restrição em forma
.
A Lagrangiana é
Agora calculo as derivadas parciais e igualo a zero (condições de estaçãoção):
e a própria restrição
Passo 5
Manipular as equações das derivadas para encontrar relações entre
.
Das três equações anteriores temos:
Como
, podemos comparar as duas primeiras equações dividindo uma pela outra (ou igualando suas expressões para
). Por exemplo, da primeira temos
da segunda
Igualando:
Como
, podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora multiplicando em cruz:
Expandindo:
Cancelando
dos dois lados:
Como
, divide-se por
e obtém-se
De forma análoga, comparando a primeira e a terceira equação obtemos
. Portanto concluímos
(Isto mostra que, no ponto de máximo sob a restrição dada, as três arestas são iguais — a caixa ótima é um cubo.)
Passo 6
Usar a restrição para encontrar o valor numérico de
.
Se
, a restrição
vira
ou seja
Logo
(pegamos a raiz positiva porque dimensões são positivas).
Passo 7
Calcular o volume máximo usando
.
O volume é
Portanto o volume máximo é
. A caixa que atinge esse volume máximo é um cubo de aresta
.
Passo 8
Comentário didático-final e checagem rápida.
Intuição: com quantidade fixa de material de superfície, a forma que maximiza volume entre caixas retangulares fechadas é a mais “simétrica” possível — um cubo. O cálculo com Lagrange formaliza isso. Se quisesse, poderia também demonstrar a igualdade de
por argumentos de desigualdade (como AM-GM) ou por trocar dimensões e ver que a assimetria reduz o volume; o método usado é direto e objetivo.