5- ( 1,25 pontos) Uma caixa retangular de papelão deve ser feita com 24 \mathrm{~m}^{2} de papelão. Usando os conceitos vistos em sala, calcule o volume máximo dessa caixa.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: uma caixa retangular fechada será feita com 24\\ \mathrm{m}^{2} de papelão. Isso significa que todo o dobro das áreas das três faces está incluído (ou seja, todas as 6 faces são de papelão).
  • Pedido: encontrar o volume máximo possível dessa caixa, dado o total de papelão disponível.
Informações extraídas/definições que vou usar (não resolvo nada ainda):
  • Chamar as arestas da caixa de x, y e z (positivas), onde x e y são dimensões da base e z a altura.
  • A área total de uma caixa retangular fechada é dada por 2(xy + xz + yz).
  • O volume da caixa é V = xyz.

Passo 2

Escrever as equações que relacionam as variáveis usando as definições:
  • Restrição (área total conhecida): a área total é 24\\ \mathrm{m}^{2}, então
2(xy + xz + yz) = 24.
Dividindo por 2,
xy + xz + yz = 12.
Aqui cada termo xy, xz, yz é a área de uma face; somando-os e multiplicando por 2 obtemos as seis faces.
  • Função objetivo (volume a maximizar):
V(x,y,z) = xyz.
Queremos encontrar x,y,z>0 que maximizem V sujeitas à restrição xy + xz + yz = 12.

Passo 3

Escolha do método e por quê.
Opções comuns: argumento de simetria (mostrar que o máximo ocorre quando as três dimensões são iguais) ou multiplicadores de Lagrange (método sistemático de otimização com restrição). Vou usar multiplicadores de Lagrange porque é um procedimento direto e generalizável e permite justificar de forma limpa por que as dimensões ficam iguais no máximo. Depois comento a interpretação geométrica (resultado: caixa ótima é um cubo).
Breve explicação do método de Lagrange (didática):
  • Quando queremos maximizar uma função V(x,y,z) sujeita a uma restrição g(x,y,z)=0, os pontos extremos interiores satisfazem que o gradiente de V é paralelo ao gradiente de g: \nabla V = \lambda \nabla g. O número \lambda é o multiplicador de Lagrange; não é necessário interpretar fisicamente, basta usá-lo para obter equações que determinam x,y,z.

Passo 4

Montar a função Lagrangiana e calcular as equações necessárias.
Defino a restrição em forma g(x,y,z)=xy + xz + yz - 12 = 0.
A Lagrangiana é
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = xyz - \lambda\bigl(xy + xz + yz - 12\bigr).
Agora calculo as derivadas parciais e igualo a zero (condições de estaçãoção):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = yz - \lambda(y+z) = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = xz - \lambda(x+z) = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = xy - \lambda(x+y) = 0,
e a própria restrição
xy + xz + yz = 12.

Passo 5

Manipular as equações das derivadas para encontrar relações entre x,y,z.
Das três equações anteriores temos:
yz = \lambda(y+z),\qquad xz = \lambda(x+z),\qquad xy = \lambda(x+y).
Como x,y,z>0, podemos comparar as duas primeiras equações dividindo uma pela outra (ou igualando suas expressões para \lambda). Por exemplo, da primeira temos
\lambda = \frac{yz}{y+z},
da segunda
\lambda = \frac{xz}{x+z}.
Igualando:
\frac{yz}{y+z} = \frac{xz}{x+z}.
Como z>0, podemos simplificar dividindo ambos os lados por z:
\frac{y}{y+z} = \frac{x}{x+z}.
Agora multiplicando em cruz:
y(x+z) = x(y+z).
Expandindo:
xy + yz = xy + xz.
Cancelando xy dos dois lados:
yz = xz.
Como z>0, divide-se por z e obtém-se
y = x.
De forma análoga, comparando a primeira e a terceira equação obtemos x = z. Portanto concluímos
x = y = z.
(Isto mostra que, no ponto de máximo sob a restrição dada, as três arestas são iguais — a caixa ótima é um cubo.)

Passo 6

Usar a restrição para encontrar o valor numérico de x.
Se x = y = z, a restrição xy + xz + yz = 12 vira
x^2 + x^2 + x^2 = 12,
ou seja
3x^2 = 12.
Logo
x^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 2
(pegamos a raiz positiva porque dimensões são positivas).

Passo 7

Calcular o volume máximo usando x=y=z=2.
O volume é
V_{\max} = xyz = x^3 = 2^3 = 8.
Portanto o volume máximo é 8\\ \mathrm{m}^3. A caixa que atinge esse volume máximo é um cubo de aresta 2\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Comentário didático-final e checagem rápida.
Intuição: com quantidade fixa de material de superfície, a forma que maximiza volume entre caixas retangulares fechadas é a mais “simétrica” possível — um cubo. O cálculo com Lagrange formaliza isso. Se quisesse, poderia também demonstrar a igualdade de x,y,z por argumentos de desigualdade (como AM-GM) ou por trocar dimensões e ver que a assimetria reduz o volume; o método usado é direto e objetivo.

Resposta

8\\ \mathrm{m}^3

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