O que se pede: verificar se f é contínua em (0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para (x,y)\neq(0,0) a função vale \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Em (0,0) a função vale f(0,0)=0+0+1=1.
A continuidade em (0,0) exige que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) exista e seja igual a f(0,0)=1.]
Passo 2
Vamos lembrar, de forma simples e prática, o que significa verificar continuidade num ponto para funções de duas variáveis. A função f é contínua em (0,0) se, e só se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Aqui f(0,0)=1. Então preciso calcular o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} (essa é a expressão que vale fora da origem) e ver se esse limite é 1. Se o limite for diferente de 1 ou não existir, a função não é contínua em (0,0).
Passo 3
Vamos estimar o valor de \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} quando (x,y) está próximo de (0,0). Uma forma simples e robusta é usar a distância ao ponto (0,0). Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Note que |x|\le r e |y|\le r. Agora comece estimando o numerador por uma desigualdade simples:
|x^{3}-y^{3}|\le |x|^{3}+|y|^{3}.
Usando |x|\le r e |y|\le r obtemos
|x^{3}-y^{3}|\le r^{3}+r^{3}=2r^{3}.
O denominador é x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
(Observação prática: outra verificação rápida — tomando reta y=kx — dá também limite 0, mas a estimativa com r prova a convergência para 0 por qualquer caminho.)
Passo 4
Comparando o limite que encontramos com o valor da função na origem:
Como o limite não coincide com f(0,0), a função não é contínua em (0,0). Em palavras: ao aproximar (x,y) da origem a parte que vale fora da origem tende a 0, mas o valor atribuído em (0,0) é 1; essa diferença impede a continuidade.
Resposta
Não. \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\neq f(0,0)=1, logo f não é contínua em (0,0).