6- (1 ponto) A função f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, \quad \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ x+y+1, \quad \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua em (0,0) ? Justifique

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] x+y+1, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que se pede: verificar se f é contínua em (0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para (x,y)\neq(0,0) a função vale \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
  • Em (0,0) a função vale f(0,0)=0+0+1=1.
  • A continuidade em (0,0) exige que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) exista e seja igual a f(0,0)=1.]

Passo 2

Vamos lembrar, de forma simples e prática, o que significa verificar continuidade num ponto para funções de duas variáveis. A função f é contínua em (0,0) se, e só se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Aqui f(0,0)=1. Então preciso calcular o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} (essa é a expressão que vale fora da origem) e ver se esse limite é 1. Se o limite for diferente de 1 ou não existir, a função não é contínua em (0,0).

Passo 3

Vamos estimar o valor de \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} quando (x,y) está próximo de (0,0). Uma forma simples e robusta é usar a distância ao ponto (0,0). Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Note que |x|\le r e |y|\le r. Agora comece estimando o numerador por uma desigualdade simples:
|x^{3}-y^{3}|\le |x|^{3}+|y|^{3}.
Usando |x|\le r e |y|\le r obtemos
|x^{3}-y^{3}|\le r^{3}+r^{3}=2r^{3}.
O denominador é x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\left|\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le \dfrac{2r^{3}}{r^{2}}=2r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), concluímos que 2r\to 0. Pelo Princípio do Confronto (ou Desigualdade de Encadeamento), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0.
(Observação prática: outra verificação rápida — tomando reta y=kx — dá também limite 0, mas a estimativa com r prova a convergência para 0 por qualquer caminho.)

Passo 4

Comparando o limite que encontramos com o valor da função na origem:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 \qquad\text{e}\qquad f(0,0)=1.
Como o limite não coincide com f(0,0), a função não é contínua em (0,0). Em palavras: ao aproximar (x,y) da origem a parte que vale fora da origem tende a 0, mas o valor atribuído em (0,0) é 1; essa diferença impede a continuidade.

Resposta

Não. \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\neq f(0,0)=1, logo f não é contínua em (0,0).

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