2- (25 pontos) Calcule o fluxo de F(x, y, z)=raizx^2+y^2 k que passa pela cone sigma de equação: r(u, v)=u cos v i+u sen v j+2 u k com orientação positiva onde 1 <= u <= 2 e 0 <= v <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
F(x,y,z)=raizx^2+y^2,k
pela parte lateral do cone parametrizado por
r(u,v)=ucos v,i+usin v,j+2u,k,
com 1<= u<=2 e 0<= v<=2pi.
O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, que se resolve por
integral duplasigmaFcdot (rutimes rv),du,dv

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de r:
ru(u,v)=(cos v,;sin v,;2),
rv(u,v)=(-usin v,;ucos v,;0)

Passo 3

Formar o produto vetorial
rutimes rv = i & j & k cos v & sin v & 2 -,usin v & ucos v & 0 =-2ucos v,i-2usin v,j+u,k

Passo 4

Expressar F em coordenadas da parametrização:
raizx^2+y^2=raiz(ucos v)^2+(usin v)^2=u,
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F(u,v)=u,k

Passo 5

Calcular o integrando
Fcdot(rutimes rv) =(u,k)cdotl(-2ucos v,i-2usin v,j+u,kr) =ucdot u =u^2
Então o fluxo é
integral duplasigmaFcdot(rutimes rv),du,dv =integralv=0^2pi!!integralu=1^2u^2,du,dv =2pi[u^33]1^2 =2picdot73 =14pi3

Resposta

14pi3

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