Calcule
e
em cada caso:
As funções acima são contínuas em
x=1 ? Justifique.
As funções acima são contínuas em
Passo 1
O enunciado define a função por partes
O objetivo é:
- Calcular
em cada região.f'(x) - Determinar
usando o limite do quociente de diferença.f'(1) - Verificar se
é contínua emf .x=1
Passo 2
Para
x>1 usamos a regra da derivada de potência:
Para
x<1 a função é linear
2x , cuja derivada é constante:
Passo 3
Para ver se existe
f'(1) calculamos as derivadas laterais em
x=1 .
A derivada pela direita é
A derivada pela esquerda é
Como
f'+(1)=f'-(1)=2 , concluímos que
Passo 4
Para verificar continuidade em
x=1 , calculamos:
Como ambos os limites laterais valem
2 e coincidem com
f(1) , a função é contínua em
x=1 .
Resposta
A derivada é
e
A função é contínua em
x=1 porque
limxto1f(x)=2=f(1) .