Calcule f^prime(x) e f^prime(1) em cada caso:
f(x)=llx^2+1, & se x >= 1, 2 x, & se x<1
As funções acima são contínuas em x=1 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2+1,&se x>=1, 2x,&se x<1
O objetivo é:
  1. Calcular f'(x) em cada região.
  2. Determinar f'(1) usando o limite do quociente de diferença.
  3. Verificar se f é contínua em x=1.

Passo 2

Para x>1 usamos a regra da derivada de potência:
f(x)=x^2+1 Longrightarrow f'(x)=2x
Para x<1 a função é linear 2x, cuja derivada é constante:
f(x)=2x Longrightarrow f'(x)=2

Passo 3

Para ver se existe f'(1) calculamos as derivadas laterais em x=1.
A derivada pela direita é
f'+(1) =limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+l((1+h)^2+1r)-2h =limhto0^+1+2h+h^2+1-2h =limhto0^+2h+h^2h =limhto0^+(2+h) =2
A derivada pela esquerda é
f'-(1) =limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-2(1+h)-2h =limhto0^-2+2h-2h =limhto0^-2hh =2
Como f'+(1)=f'-(1)=2, concluímos que
f'(1)=2

Passo 4

Para verificar continuidade em x=1, calculamos:
limxto1^-f(x)=limxto1^-2x=2, limxto1^+f(x)=limxto1^+(x^2+1)=2, f(1)=1^2+1=2
Como ambos os limites laterais valem 2 e coincidem com f(1), a função é contínua em x=1.

Resposta

A derivada é
f'(x)= 2x,&x>1, 2,&x<1,
e
f'(1)=2
A função é contínua em x=1 porque limxto1f(x)=2=f(1).

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