Determine a solução geral.
ddotx+4 x=t+e^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
ddotx + 4x = t + e^t
O conteúdo é a resolução de equações lineares não homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar. Vamos achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
ddotx + 4x = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0
com raízes r = pm 2i. Logo a solução geral homogênea é
xh(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular xp para
ddotx + 4x = t + e^t
Separamos em duas partes:
  1. Para o termo polinomial t, tentamos
xp1(t) = A,t + B
Como ddotxp1=0, a substituição na equação dá
4(A,t + B) = t ;Longrightarrow; 4A=1,;4B=0
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A=tfrac14, B=0, xp1(t)=tfrac14,t
  1. Para o termo exponencial e^t, tentamos
xp2(t) = C,e^t
Então ddotxp2=C,e^t e ao substituir
C,e^t + 4C,e^t = e^t ;Longrightarrow;5C=1;Longrightarrow;C=tfrac15,
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xp2(t)=tfrac15,e^t
Assim uma solução particular completa é
xp(t) = tfrac14,t + tfrac15,e^t

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t) + tfrac14,t + tfrac15,e^t

Resposta

x(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t) + t4 + e^t5

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