Determine a solução geral.
ddotx+x=sin t

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes
ddotx + x = sin t
Este é um problema de equação diferencial linear não homogênea. Para resolvê-la, vamos obter a solução geral como
x(t) = xh(t) + xp(t),
onde xh é a solução da homogênea associada e xp é uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela homogênea
ddotxh + xh = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cuja raízes são r = pm i. Assim a solução geral da homogênea é
xh(t) = C1cos t + C2sin t,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte não homogênea usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante sin t coincide com uma solução da homogênea (ressonância), escolhemos o palpite
xp(t) = tl(Acos t + Bsin tr)
Calculando as derivadas e substituindo em ddotx+x=sin t, verifica-se que os termos em t se cancelam e sobra
ddotxp + xp = 2l(-Asin t + Bcos tr) = sin t
Comparando coeficientes, temos
-2A = 1, 2B = 0 Longrightarrow A = -tfrac12,; B = 0
Logo
xp(t) = -tfrac12,tcos t

Passo 4

Somando as duas partes, a solução geral da equação dada é
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1cos t + C2sin t - tfrac12,tcos t

Resposta

x(t) = C1cos t + C2sin t - tfrac12,tcos t

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