Determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes
Este é um problema de equação diferencial linear não homogênea. Para resolvê-la, vamos obter a solução geral como
onde
é a solução da homogênea associada e
é uma solução particular.
Passo 2
Começamos pela homogênea
A equação característica é
cuja raízes são
. Assim a solução geral da homogênea é
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte não homogênea usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante
coincide com uma solução da homogênea (ressonância), escolhemos o palpite
Calculando as derivadas e substituindo em
, verifica-se que os termos em
se cancelam e sobra
Comparando coeficientes, temos
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Passo 4
Somando as duas partes, a solução geral da equação dada é