Q. 2 ( 25 pontos) Calcule o trabalho realizado pela força
\vec{F}(x, y)=(x+2 y) \vec{i}+\left(y^{2}-x^{2}\right) \vec{j}
ao deslocar uma partícula da origem (0,0) ao longo da cúbica y=x^{3} até o ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força
\vec{F}(x,y) = (x + 2y)\,\vec{i} + (y^2 - x^2)\,\vec{j}
ao deslocar uma partícula de (0,0) até (1,1) seguindo a curva y = x^3.
O conteúdo aqui é cálculo de integral de linha de um campo vetorial: precisamos parametrizar a curva, calcular \vec r'(t), avaliar \vec F ao longo da parametrização e integrar o produto escalar \vec F\cdot\vec r'.

Passo 2

Parametrizamos a curva por
\vec r(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(t,\,t^3\bigr),
com t variando de 0 a 1.
Então
\vec r'(t) = \bigl(1,\,3t^2\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos \vec F em \vec r(t):
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(t + 2t^3,\;t^6 - t^2\bigr).
O produto escalar é
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r'(t) = (t + 2t^3)\cdot 1 + (t^6 - t^2)\cdot (3t^2) = t + 2t^3 + 3t^8 - 3t^4.

Passo 4

O trabalho é a integral
W = \int_{C}\vec F\cdot d\vec r = \int_{0}^{1}\bigl(t + 2t^3 - 3t^4 + 3t^8\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}t\,dt = \frac12,\quad \int_{0}^{1}2t^3\,dt = \frac12,\quad \int_{0}^{1}(-3t^4)\,dt = -\frac35,\quad \int_{0}^{1}3t^8\,dt = \frac13.
Somando:
W = \frac12 + \frac12 - \frac35 + \frac13 = 1 - \frac35 + \frac13 = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{11}{15}.

Resposta

O trabalho realizado vale \displaystyle \frac{11}{15}.

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