( 25 pontos) Um cilindro de 20 litros de capacidade contendo nitrogênio gasoso \left(\mathrm{N}_{2}\right) está armazenado no depósito de uma empresa. Durante uma inspeção, uma funcionária verifica que a pressão do gás no cilindro é de 110 atm e que a temperatura do ambiente é de 20^{\circ} \mathrm{C}. No dia seguinte, a funcionária confere que a pressão havia diminuído de 3 atm sem que o conteúdo do cilindro tivesse sido utilizado e/ou vazado. Considerando que a máxima pressão suportada pelo cilindro é de 200 atm , responda:
(a) ( 5 pontos) Qual a massa de \mathrm{N}_{2} contida no cilindro?
(b) ( 10 pontos) Qual foi a variação de temperatura ocorrida entre as duas inspeções?
(c) (10 pontos) Na eventualidade de um incêndio, o cilindro explodirá se a temperatura no depósito chegar a 950^{\circ} \mathrm{C} ? Justifique a sua resposta, considerando irrelevante a dilatação do cilindro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que está sendo pedido.
  • Dados do enunciado:
    • Volume do cilindro: V=20\\ \text{L}.
    • Pressão medida na primeira inspeção: P_1=110\\ \text{atm}.
    • Temperatura ambiente na primeira inspeção: T_1=20^\circ\text{C}.
    • Na inspeção seguinte a pressão diminuiu 3\\ \text{atm}, ou seja a pressão passou a P_2=110-3=107\\ \text{atm}.
    • Pressão máxima suportada pelo cilindro: P_{\text{max}}=200\\ \text{atm}.
    • Temperatura no incêndio a considerar: T_{\text{inc}}=950^\circ\text{C}.
  • O que o problema pede:
    (a) Qual a massa de \mathrm{N}_2 no cilindro (em kg).
    (b) Qual foi a variação de temperatura entre as duas inspeções (em °C), sabendo que não houve perda de gás.
    (c) Se o cilindro explodirá se a temperatura chegar a 950^\circ\text{C}, justificando com base na pressão máxima suportada (considerar irrelevante a dilatação do cilindro).
Observação: vou usar a forma SI do sistema de gás ideal adaptada para \text{L} e \text{atm}, e lembrar que para temperaturas devo trabalhar em Kelvin. Vamos em frente passo a passo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Lei dos gases ideais: \displaystyle P V = n R T.
    • \displaystyle P é a pressão (aqui em \text{atm}).
    • \displaystyle V é o volume (aqui em \text{L}).
    • \displaystyle n é a quantidade de substância em mols.
    • \displaystyle R é a constante dos gases ideais; no sistema \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} usa-se \displaystyle R=0,082057\\ \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.
    • \displaystyle T é a temperatura absoluta em Kelvin; para converter de Celsius para Kelvin: \displaystyle T(\text{K})=T(^{\circ}\text{C})+273,15.
  • Para massa: \displaystyle m = n M, onde \displaystyle M é a massa molar do gás (para \mathrm{N}_2, \displaystyle M\approx28{,}02\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}).
  • Observação importante para o item (b) e (c): com n e V constantes, a pressão é diretamente proporcional à temperatura absoluta: \displaystyle \frac{P_2}{P_1}=\frac{T_2}{T_1}. Isso é útil para encontrar variações de temperatura ou pressões em outras temperaturas.

Passo 3

Calcular a massa de \mathrm{N}_2 no cilindro (item (a)) — primeiro encontrar n.
  • Converter a temperatura inicial \displaystyle T_1:
    T_1 = 20^\circ\text{C} = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \text{K}.
  • Aplicar a lei dos gases ideais com os dados da primeira inspeção:
    n = \frac{P_1 V}{R T_1} = \frac{110\\ \text{atm}\times 20\\ \text{L}}{0{,}082057\\ \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}\times 293{,}15\\ \text{K}}.
  • Calcular passo a passo o denominador:
    R T_1 = 0{,}082057\times 293{,}15 \approx 24{,}055\\ \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • Agora n:
    n \approx \frac{110\times 20}{24{,}055}=\frac{2200}{24{,}055}\approx 91{,}45\\ \text{mol}.

Passo 4

Continuando (item (a)): transformar n em massa.
  • Massa molar do \mathrm{N}_2: M(\mathrm{N}_2)=28{,}02\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • Massa:
    m = n M = 91{,}45\\ \text{mol}\times 28{,}02\\ \frac{\text{g}}{\text{mol}}\approx 2562{,}4\\ \text{g}.
  • Converter para kg:
    m \approx 2{,}562\\ \text{kg}.
Pequeno comentário amigo: isso significa que, mesmo em 20 L sob 110 atm, são só alguns quilos de nitrogênio — parece pouco, mas sob alta pressão é bastante energia.

Passo 5

Encontrar a variação de temperatura entre as duas inspeções (item (b)).
  • Como não houve uso nem vazamento, n e V são constantes; portanto
    \frac{P_2}{P_1}=\frac{T_2}{T_1}\quad\Longrightarrow\quad T_2=T_1\frac{P_2}{P_1}.
  • Substituindo:
    T_2 = 293{,}15\\ \text{K}\times\frac{107}{110}=293{,}15\times 0{,}972727\ldots \approx 285{,}15\\ \text{K}.
  • Converter T_2 para Celsius:
    T_2 = 285{,}15\\ \text{K} - 273{,}15 = 12{,}00^\circ\text{C}.
  • Variação de temperatura (segunda inspeção menos primeira inspeção):
    \Delta T = T_2 - T_1 = 285{,}15\\ \text{K} - 293{,}15\\ \text{K} = -8{,}00\\ \text{K},
    que em Celsius é -8{,}00^\circ\text{C}. Ou seja, a temperatura diminuiu 8{,}00^\circ\text{C} entre as inspeções.

Passo 6

Verificar se o cilindro explodirá a 950^\circ\text{C} (item (c)) — cálculo da pressão a essa temperatura.
  • Converter T_{\text{inc}} para Kelvin:
    T_{\text{inc}} = 950^\circ\text{C} = 950 + 273{,}15 = 1223{,}15\\ \text{K}.
  • Usar a condição que vale no momento mais recente conhecido: na segunda inspeção tinha-se P_2=107\\ \text{atm} a T_2\approx285{,}15\\ \text{K}. Mantendo n e V constantes, a pressão prevista na temperatura de incêndio é
    P_{\text{inc}} = P_2\frac{T_{\text{inc}}}{T_2}.
  • Substituindo os valores:
    P_{\text{inc}} \approx 107\\ \text{atm}\times\frac{1223{,}15}{285{,}15}\approx 107\times 4{,}2897\approx 459{,}0\\ \text{atm}.
  • Comparação com a pressão máxima suportada:
    P_{\text{inc}}\approx 459{,}0\\ \text{atm} > P_{\text{max}}=200\\ \text{atm}.
  • Conclusão física: como a pressão atingida em 950^\circ\text{C} seria muito maior que a pressão máxima admissível do cilindro, o cilindro explodiria nessa temperatura (a suposição de dilatação irrelevante foi dada no enunciado, então não é preciso corrigi-la).

Passo 7

Resumo final rápido e encorajador: fizemos tudo com a lei dos gases ideais, convertendo Celsius para Kelvin, e aplicando proporcionalidade entre P e T quando n e V são constantes. Você segurou bem — repassando esses passos na prova você resolve direto.

Resposta

(a) m \approx 2{,}562\\ \text{kg}
(b) \Delta T = -8{,}00^\circ\text{C} (diminuição de 8{,}00^\circ\text{C})
(c) Sim. A pressão prevista a 950^\circ\text{C} é P_{\text{inc}}\approx 459{,}0\\ \text{atm}, que excede 200\\ \text{atm}, logo o cilindro explodiria.

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