( 25 pontos) Deseja-se construir uma escala de temperatura em que os pontos de fusaio e de ebulição da amônia sejam utilizados como pontos de referência. Nessa escala, a temperatura de fusão da amônia será T_{A}=0^{\circ} \mathrm{A} e a temperatura de ebuliçāo será T_{A}= 100^{\circ} \mathrm{A}. Sabendo-se que o ponto de fusão da amônia na escala Fahrenheit é -108^{\circ} \mathrm{F} e que seu ponto de ebulição é de -28^{\circ} \mathrm{F}, escreva:
(a) (10 pontos) A equação da temperatura em graus Fahrenheit \left(T_{F}\right) em funçāo da temperatura nessa nova escala, i.e., T_{F}=f\left(T_{A}\right).
(b) ( 10 pontos) A equação da temperatura em graus Celsius em função dessa nova escala, i.e., T_{C}=f\left(T_{A}\right),
(c) (05 pontos) A equação da temperatura nessa escala em funçāo da temperatura absoluta, i.e., T_{A}=f\left(T_{K}\right)

Passo 1

O enunciado define uma nova escala A de temperatura usando como referências o ponto de fusão da amônia ( T_{A}=0^\circ A) e seu ponto de ebulição ( T_{A}=100^\circ A). Sabe-se que esses mesmos pontos valem -108^\circ F e -28^\circ F na escala Fahrenheit e, ao convertê-los em Celsius, valem
T_C(0^\circ A)=\bigl(-108-32\bigr)\cdot\frac{5}{9}=-\frac{700}{9}, \quad T_C(100^\circ A)=\bigl(-28-32\bigr)\cdot\frac{5}{9}=-\frac{100}{3}.
Para resolver as três alíneas, vamos ajustar funções lineares do tipo
T_F = m_F\,T_A + b_F,\quad T_C = m_C\,T_A + b_C,\quad T_A = m_K\,T_K + b_K.

Passo 2

Queremos T_F=f(T_A) tal que
f(0)= -108, \quad f(100)= -28.
A inclinação é
m_F = \frac{-28 - (-108)}{100 - 0} = \frac{80}{100} = 0.8,
e o coeficiente linear é b_F=f(0)=-108. Logo
\boxed{T_F = 0.8\,T_A - 108.}

Passo 3

Para T_C=f(T_A) usamos os valores convertidos:
T_C(0)= -\tfrac{700}{9}, \quad T_C(100)= -\tfrac{100}{3}.
A inclinação é
m_C = \frac{-\tfrac{100}{3} - \bigl(-\tfrac{700}{9}\bigr)}{100} = \frac{\tfrac{400}{9}}{100} = \frac{4}{9},
e o coeficiente linear é b_C=T_C(0)=-\tfrac{700}{9}. Assim
\boxed{T_C = \frac{4}{9}\,T_A \;-\;\frac{700}{9}.}

Passo 4

Da equação de T_C obtemos
T_C + \frac{700}{9} = \frac{4}{9}\,T_A \quad\Longrightarrow\quad T_A = \frac{9}{4}\,T_C + 175.
Como na escala absoluta T_K vale
T_C = T_K - 273.15,
substituímos para achar T_A em função de T_K:
\boxed{T_A = \frac{9}{4}\bigl(T_K - 273.15\bigr) + 175.}

Resposta

(a)
T_F = 0.8\,T_A - 108.
(b)
T_C = \frac{4}{9}\,T_A - \frac{700}{9}.
(c)
T_A = \frac{9}{4}\bigl(T_K - 273.15\bigr) + 175.

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