Um engenheiro químico inventou uma máquina térmica que opera entre duas fontes térmicas segundo um ciclo de Carnot que utiliza o gás ideal como substância de trabalho. A máquina é capaz de, em um único ciclo, realizar 4,50 \mathrm{~kJ} com uma eficiência de 80 \%. Responda às questões abaixo:
(a) Determine q_{H}, q_{C} e w para um ciclo de operação da máquina?
(b) Se o engenheiro lhe oferecesse a máquina térmica com as especificações da máquina acima, informando-lhe que ela opera conectada a fontes térmicas tais que \mathrm{T}_{\mathrm{C}}=100 \mathrm{~K} e \mathrm{T}_{\mathrm{H}}=350 \mathrm{~K}, você compraria a máquina? Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve uma máquina térmica operando em ciclo de Carnot usando gás ideal, que em cada ciclo entrega trabalho W=4,50\\ \mathrm{kJ} com eficiência \eta=80\%. Na parte (a) precisamos encontrar o calor absorvido Q_{H}, o calor rejeitado Q_{C} e o próprio trabalho W. Na parte (b) vamos comparar essa eficiência com a eficiência máxima de Carnot para fontes a temperaturas T_{H}=350\\ \mathrm{K} e T_{C}=100\\ \mathrm{K} e decidir se a máquina é viável.

Passo 2

Para a parte (a) usamos duas relações fundamentais:
  1. Definição de eficiência:
\eta = \frac{W}{Q_{H}}.
  1. Primeira lei da termodinâmica (balanço de energia no ciclo):
Q_{H} = W + Q_{C}.
Da equação da eficiência obtemos
Q_{H} = \frac{W}{\eta}.
Em seguida, calcula-se Q_{C} por
Q_{C} = Q_{H} - W.

Passo 3

Substituindo W=4,50\\ \mathrm{kJ} e \eta=0,80:
Q_{H} = \frac{4{,}50}{0{,}80}\\ \mathrm{kJ} = 5{,}625\\ \mathrm{kJ},
Q_{C} = 5{,}625\\ \mathrm{kJ} - 4{,}50\\ \mathrm{kJ} = 1{,}125\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Para a parte (b) calculamos a eficiência máxima de Carnot entre T_{H}=350\\ \mathrm{K} e T_{C}=100\\ \mathrm{K}:
\eta_{C} = 1 - \frac{T_{C}}{T_{H}} = 1 - \frac{100}{350} \approx 0{,}714\quad(\text{ou }71{,}4\%).
Como \eta_{\text{máquina}}=80\%á excede \eta_{C}, a máquina violaria a segunda lei da termodinâmica e, portanto, não é viável.

Resposta

(a) Q_{H}=5{,}625\\ \mathrm{kJ}, Q_{C}=1{,}125\\ \mathrm{kJ} e W=4{,}50\\ \mathrm{kJ}.
(b) Não. A eficiência de 80\% ultrapassa a eficiência de Carnot \eta_{C}\approx71{,}4\% para as fontes dadas, o que é impossível segundo a segunda lei da termodinâmica.

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