(25 pontos) Uma esfera ôca de raio interno r=0,5 \mathrm{~m} e raio externo R (a ser determinado) é feita de um material de densidade \rho_{M}=4,0 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Ela encontra-se cm equilibrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade \rho_{L}=3,5 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(a) ( 10 pontos) Determine o volume da esfera.
(b) ( 10 pontos) Determine o módulo do empuxo exercido pelo líquido sobre a esfera.
(c) ( 05 pontos) Determine o raio externo R da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera oca de raio interno \,r=0{,}5\:\mathrm{m} e raio externo R (a determinar), feita de material de densidade \rho_{M}=4{,}0\times10^{3}\:\mathrm{kg/m^{3}}. Ela fica em equilíbrio quando totalmente submersa num líquido de densidade \rho_{L}=3{,}5\times10^{3}\:\mathrm{kg/m^{3}}. Vamos usar:
1. Para o volume da casca, a fórmula do volume de esfera e a diferença entre o volume externo e interno.
2. Empuxo de Arquimedes: E=\rho_{L}\,g\,V_{\text{deslocado}}.
3. Equilíbrio de forças: peso da casca = empuxo.

Passo 2

O volume da casca esférica V_{\text{casca}} é a diferença entre o volume da esfera de raio externo R e o da esfera de raio interno r:
V_{\text{casca}} =\frac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr).

Passo 3

O empuxo E é o peso do volume de líquido deslocado, que é o volume da esfera de raio externo R:
E=\rho_{L}\,g\,V_{\text{deslocado}} =\rho_{L}\,g\;\frac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 4

Em equilíbrio, peso da casca = empuxo:
\rho_{M}\,g\,V_{\text{casca}} =\rho_{L}\,g\,\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Cancelando g e substituindo V_{\text{casca}}:
\rho_{M}\,\frac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr) =\rho_{L}\,\frac{4}{3}\pi\,R^{3} \;\Longrightarrow\; \rho_{M}\,(R^{3}-r^{3})=\rho_{L}\,R^{3} \;\Longrightarrow\; (\rho_{M}-\rho_{L})\,R^{3}=\rho_{M}\,r^{3}.
Assim,
R^{3} =\frac{\rho_{M}}{\rho_{M}-\rho_{L}}\;r^{3} =\frac{4{,}0\times10^{3}}{4{,}0\times10^{3}-3{,}5\times10^{3}}\;(0{,}5)^{3} =1\quad\Longrightarrow\quad R=1{,}0\:\mathrm{m}.

Resposta

(a) V_{\text{casca}}=\dfrac{4}{3}\pi\bigl(R^{3}-r^{3}\bigr). Substituindo R=1{,}0\:\mathrm{m} e r=0{,}5\:\mathrm{m},
V_{\text{casca}} =\frac{4}{3}\pi\bigl(1^{3}-0{,}5^{3}\bigr) =\frac{4}{3}\pi\,(1-0{,}125) =1{,}1667\,\pi\approx3{,}67\:\mathrm{m^{3}}.
(b) E=\rho_{L}\,g\,\dfrac{4}{3}\pi R^{3}. Com R=1{,}0\:\mathrm{m}, \rho_{L}=3{,}5\times10^{3}\:\mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\:\mathrm{m/s^{2}},
E =3{,}5\times10^{3}\times9{,}81\times\frac{4}{3}\pi(1)^{3} \approx1{,}44\times10^{5}\:\mathrm{N}.
(c) R=1{,}0\:\mathrm{m}.

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