3- (1,25 pontos) Determine o domínio da função f(x, y)=\frac{4}{\sqrt{x+y^{2}-4}}+\sqrt{x+5-y}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{4}{\sqrt{x+y^{2}-4}}+\sqrt{x+5-y} e pede o domínio, ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} onde f está bem definida (não dá erro matemático).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há duas expressões com raiz quadrada: \sqrt{x+y^{2}-4} e \sqrt{x+5-y}.
  • A primeira raiz aparece no denominador da fração \dfrac{4}{\sqrt{x+y^{2}-4}}.

Passo 2

Relembrando a ideia básica sobre raiz quadrada: \sqrt{A} está definida em \mathbb{R} somente quando A\ge 0. Então, cada raiz impõe uma desigualdade no argumento. Além disso, quando uma raiz aparece no denominador, esse denominador não pode ser zero (divisão por zero é proibida), logo o argumento da raiz, nesse caso, deve ser estritamente positivo.

Passo 3

Aplicando isso à primeira raiz \sqrt{x+y^{2}-4} que está no denominador:
  • Condição de existência da raiz: x+y^{2}-4 \ge 0.
  • Condição de não anular o denominador: como está no denominador, precisamos de x+y^{2}-4 \ne 0, ou seja, x+y^{2}-4>0.
    Portanto a primeira condição é
x+y^{2}-4>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>4-y^{2}.

Passo 4

Agora a segunda raiz \sqrt{x+5-y} (que está fora do denominador) exige apenas que o argumento seja não negativo:
x+5-y\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge y-5.

Passo 5

Devemos satisfazer simultaneamente ambas as condições. Assim o domínio consiste nos pontos (x,y) que verificam
x>4-y^{2} \qquad\text{e}\qquad x\ge y-5.
Interpretação geométrica rápida (para intuição): a condição x>4-y^{2} é “estar estritamente à direita” da parábola x=4-y^{2}, e x\ge y-5 é “estar à direita ou sobre” da reta x=y-5. O domínio é a interseção dessas duas regiões. Note que, quando as duas curvas se cruzam (solução de 4-y^{2}=y-5), a condição estrita da parábola impede incluir o ponto exato de interseção; em outros pontos da reta que ficam mais à direita que a parábola, a igualdade x=y-5 pode ser permitida porque satisfaz x>4-y^{2}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>4-y^{2}\\ \text{e}\\ x\ge y-5\}

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