Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=e^{-3 t} \cos (t) \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=1 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial e pede a solução usando transformada de Laplace. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Equação diferencial e condições iniciais (os dados do enunciado):
Y_1(s) tem forma direta de transformadas conhecidas de e^{-2t}\cos t e e^{-2t}\sin t.
Y_2(s) é um produto de duas funções do tipo \dfrac{s+a}{(s+a)^2+1} e \dfrac{1}{(s+b)^2+1}; a inversão direta será feita decompondo Y_2(s) como soma de termos do tipo \dfrac{s+2}{(s+2)^2+1}, \dfrac{1}{(s+2)^2+1}, \dfrac{s+3}{(s+3)^2+1}, \dfrac{1}{(s+3)^2+1} (cada um corresponde a uma função exponencial vezes cosseno ou seno). Vou fazer essa decomposição por coeficientes constantes.
Passo 5
Inverto Y_1(s) diretamente. Primeiro escrevo o numerador em termos de s+2:
y_2(t) = -\frac{1}{5}e^{-2t}\cos t + \frac{3}{5}e^{-2t}\sin t + \frac{1}{5}e^{-3t}\cos t - \frac{2}{5}e^{-3t}\sin t.
Passo 8
Agora somo y_1(t) e y_2(t) para obter y(t):
y(t)=y_1(t)+y_2(t).
Agrupando os termos e^{-2t} e e^{-3t}:
Coeficiente de e^{-2t}\cos t: 2 + \big(-\tfrac{1}{5}\big)=\tfrac{9}{5}.
Coeficiente de e^{-2t}\sin t: 5 + \tfrac{3}{5}=\tfrac{28}{5}.
Coeficientes de e^{-3t}: \tfrac{1}{5}\cos t - \tfrac{2}{5}\sin t.
Portanto
y(t) = e^{-2t}\!\left(\tfrac{9}{5}\cos t + \tfrac{28}{5}\sin t\right) + e^{-3t}\!\left(\tfrac{1}{5}\cos t - \tfrac{2}{5}\sin t\right).
(Fazendo um rápido check das condições iniciais: em t=0 tem-se y(0)=\tfrac{1}{5}(9+1)=2 e diferenciado em 0 dá y'(0)=1, portanto as condições iniciais batem — bom sinal.)