Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=e^{-3 t} \cos (t) \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial e pede a solução usando transformada de Laplace. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Equação diferencial e condições iniciais (os dados do enunciado):
\left\{\begin{array}{l} y''+4y'+5y = e^{-3t}\cos t,\\[4pt] y(0)=2,\quad y'(0)=1. \end{array}\right.
  • O que se pede: encontrar y(t) para t\ge0 usando a transformada de Laplace.
Informações relevantes que usarei depois (já deixo anotado):
  • A transformada de Laplace de y(t) será denotada por Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Fórmulas que vou usar:
    • \displaystyle \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
    • \displaystyle \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
    • \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a) (deslocamento no domínio s).
    • \displaystyle \mathcal{L}\{\cos bt\}=\dfrac{s}{s^2+b^2},\quad \mathcal{L}\{\sin bt\}=\dfrac{b}{s^2+b^2}.
  • Também observe que s^2+4s+5=(s+2)^2+1 (vai facilitar inversão).]

Passo 2

Vou aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar as condições iniciais para transformar derivadas em álgebra em s.
Tomando \mathcal{L} em cada termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^2Y-2s-1,
\mathcal{L}\{4y'\}=4\big(sY(s)-y(0)\big)=4sY-8,
\mathcal{L}\{5y\}=5Y.
No lado direito:
\mathcal{L}\{e^{-3t}\cos t\} \;=\; \text{(usar deslocamento)} \;=\; \frac{s+3}{(s+3)^2+1}.
Somando os termos do lado esquerdo e igualando ao lado direito:
\big(s^2+4s+5\big)Y(s) - (2s+1+8) \;=\; \frac{s+3}{(s+3)^2+1}.

Passo 3

Isolo Y(s). Primeiro combine os termos constantes subtraídos:
2s+1+8 = 2s+9.
Então
\big(s^2+4s+5\big)Y(s) = \frac{s+3}{(s+3)^2+1} + 2s+9.
Portanto
Y(s) = \frac{2s+9}{s^2+4s+5} \;+\; \frac{s+3}{\big((s+3)^2+1\big)\big(s^2+4s+5\big)}.
Lembrete útil: s^2+4s+5=(s+2)^2+1. Vou usar essa forma para inversão.

Passo 4

Estratégia de inversão: escrevo Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s) com
Y_1(s)=\frac{2s+9}{(s+2)^2+1}, \qquad Y_2(s)=\frac{s+3}{\big((s+3)^2+1\big)\big((s+2)^2+1\big)}.
  • Y_1(s) tem forma direta de transformadas conhecidas de e^{-2t}\cos t e e^{-2t}\sin t.
  • Y_2(s) é um produto de duas funções do tipo \dfrac{s+a}{(s+a)^2+1} e \dfrac{1}{(s+b)^2+1}; a inversão direta será feita decompondo Y_2(s) como soma de termos do tipo \dfrac{s+2}{(s+2)^2+1}, \dfrac{1}{(s+2)^2+1}, \dfrac{s+3}{(s+3)^2+1}, \dfrac{1}{(s+3)^2+1} (cada um corresponde a uma função exponencial vezes cosseno ou seno). Vou fazer essa decomposição por coeficientes constantes.

Passo 5

Inverto Y_1(s) diretamente. Primeiro escrevo o numerador em termos de s+2:
2s+9 = 2(s+2) + 5.
Logo
Y_1(s)=\frac{2(s+2)}{(s+2)^2+1} + \frac{5}{(s+2)^2+1}.
Usando as transformadas inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^2+1}\right\}=e^{-2t}\cos t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^2+1}\right\}=e^{-2t}\sin t,
obtemos
y_1(t)=2e^{-2t}\cos t + 5 e^{-2t}\sin t.

Passo 6

Faço a decomposição de Y_2(s). Procuro constantes A,B,C,D tais que
\frac{s+3}{\big((s+3)^2+1\big)\big((s+2)^2+1\big)} = A\frac{s+2}{(s+2)^2+1} + B\frac{1}{(s+2)^2+1} + C\frac{s+3}{(s+3)^2+1} + D\frac{1}{(s+3)^2+1}.
Multiplicando ambos os lados por \big((s+2)^2+1\big)\big((s+3)^2+1\big) obtemos a identidade polinomial
s+3 = \big(A(s+2)+B\big)\big((s+3)^2+1\big) + \big(C(s+3)+D\big)\big((s+2)^2+1\big).
Para encontrar A,B,C,D expando e igualando coeficientes (faço as contas passo a passo):
Definindo U=s+2 e V=s+3, tem-se
V = (A U + B)(V^2+1) + (C V + D)(U^2+1).
Expandindo em s e igualando coeficientes obtém-se o sistema linear (mostro o sistema já reduzido):
\begin{cases} A + C = 0,\\[3pt] A + B + D = 0,\\[3pt] A + 2B = 1,\\[3pt] A + 2B + D = \dfrac{3}{5}. \end{cases}
Resolvendo (detalhes algébricos: eliminação simples) obtemos
A=-\dfrac{1}{5},\quad B=\dfrac{3}{5},\quad C=\dfrac{1}{5},\quad D=-\dfrac{2}{5}.]

Passo 7

Com esses coeficientes, escrevo Y_2(s) como soma de quatro frações cuja inversa é direta:
Y_2(s) = -\frac{1}{5}\frac{s+2}{(s+2)^2+1} + \frac{3}{5}\frac{1}{(s+2)^2+1} + \frac{1}{5}\frac{s+3}{(s+3)^2+1} - \frac{2}{5}\frac{1}{(s+3)^2+1}.
Invertendo cada parte usando
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^2+1}\right\}=e^{-2t}\cos t,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^2+1}\right\}=e^{-2t}\sin t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+3}{(s+3)^2+1}\right\}=e^{-3t}\cos t,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+3)^2+1}\right\}=e^{-3t}\sin t,
obtenho
y_2(t) = -\frac{1}{5}e^{-2t}\cos t + \frac{3}{5}e^{-2t}\sin t + \frac{1}{5}e^{-3t}\cos t - \frac{2}{5}e^{-3t}\sin t.

Passo 8

Agora somo y_1(t) e y_2(t) para obter y(t):
y(t)=y_1(t)+y_2(t).
Agrupando os termos e^{-2t} e e^{-3t}:
  • Coeficiente de e^{-2t}\cos t: 2 + \big(-\tfrac{1}{5}\big)=\tfrac{9}{5}.
  • Coeficiente de e^{-2t}\sin t: 5 + \tfrac{3}{5}=\tfrac{28}{5}.
  • Coeficientes de e^{-3t}: \tfrac{1}{5}\cos t - \tfrac{2}{5}\sin t.
Portanto
y(t) = e^{-2t}\!\left(\tfrac{9}{5}\cos t + \tfrac{28}{5}\sin t\right) + e^{-3t}\!\left(\tfrac{1}{5}\cos t - \tfrac{2}{5}\sin t\right).
(Fazendo um rápido check das condições iniciais: em t=0 tem-se y(0)=\tfrac{1}{5}(9+1)=2 e diferenciado em 0 y'(0)=1, portanto as condições iniciais batem — bom sinal.)

Resposta

y(t)=\frac{1}{5}\Big(e^{-2t}\big(9\cos t+28\sin t\big)+e^{-3t}\big(\cos t-2\sin t\big)\Big).

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