( 25 pontos) Uma empresa deseja tratar uma corrente de Ar que contém um material partículado. A vazão gerada pela industria é de \mathrm{Q}=70 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. O objetivo é especificar uma bateria de ciclones Lapple operando em paralelo, sabendo que o material particulado tem uma massa especifica igual a \rho_{s}=3,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e no caso do Ar as propriedades são \rho=1,15 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}} e \mu=0,0189 \mathrm{cP}. O sistema deve garantir uma eficiência global de 85% e a queda de pressão deverá ser de 200 Pa em cada um dos ciclones da bateria. Determinar:
a) ( 5 pontos) O diâmetro de corte;
b) ( 5 pontos) A eficiência para um diâmetro de partícula \mathrm{Di}=40 \mu \mathrm{~m};
c) ( 10 pontos) O diâmetro do ciclone;
d) ( 5 pontos). As unidades em paralelo que devem ser instaladas.

Passo 1

O enunciado trata do dimensionamento de uma bateria de ciclones segundo o modelo de Lapple. Temos:
– Vazão total do gás: \;Q_{\rm tot}=70\\ \mathrm{m^3/s}.
– Pressão de operação em cada ciclone: \;\Delta p=200\\ \mathrm{Pa}.
– Propriedades do ar: densidade \rho_g=1{,}15\\ \mathrm{kg/m^3}, viscosidade \mu=0{,}0189\\ \mathrm{cP}=1{,}89\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
– Densidade das partículas: \rho_s=3{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}=3000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Pontos a resolver:
a) Calcular o diâmetro de corte \,d_{50} (tamanho de partícula para 50 % de eficiência) usando o modelo de Lapple.
b) Calcular a eficiência de remoção para partículas de D_i=40\\ \mu\mathrm{m}.
c) Determinar o diâmetro físico do ciclone \,D.
d) Determinar o número de unidades em paralelo.

Passo 2

Para o modelo de Lapple, admite-se uma geometria normalizada em que a altura do fole de entrada b é proporcional ao diâmetro do ciclone D, e a perda de carga é controlada pela velocidade de entrada U_i.
  1. A velocidade de entrada é dada por
U_i \;=\;\sqrt{\frac{2\,\Delta p}{\rho_g}}
Substituindo \Delta p=200\\ \mathrm{Pa} e \rho_g=1{,}15\\ \mathrm{kg/m^3}:
U_i = \sqrt{\frac{2\cdot200}{1{,}15}} =\sqrt{\frac{400}{1{,}15}} \approx18{,}65\\ \mathrm{m/s}.
  1. Na formulação de Lapple, o diâmetro de corte vem de
d_{50} =\sqrt{\frac{9\,\mu\,b}{2\,\pi\,(\rho_s-\rho_g)\,U_i^2\,D}},
onde b/D é um coeficiente geométrico constante.
Para os valores usuais b/D=0{,}5, U_i calculada acima e \rho_s-\rho_g\approx3000\\ \mathrm{kg/m^3}, temos
d_{50} =\sqrt{\frac{9\,(1{,}89\times10^{-5})\,(0{,}5\,D)} {2\pi\,(3000)\,(18{,}65)^2\,D}} \;=\; \sqrt{\frac{9\cdot1{,}89\times10^{-5}\cdot0{,}5} {2\pi\cdot3000\cdot(18{,}65)^2}} \approx3{,}6\times10^{-6}\\ \mathrm{m} \;=\;3{,}6\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 3

A eficiência para partícula de diâmetro d no modelo de Lapple costuma escrever-se
\eta(d) =1-\exp\Bigl[-\,\ln2\;\Bigl(\frac{d}{d_{50}}\Bigr)^{2}\Bigr].
Para d=40\\ \mu\mathrm{m} e d_{50}=3{,}6\\ \mu\mathrm{m}:
\Bigl(\frac{40}{3{,}6}\Bigr)^{2}\approx123{,}5, \quad -\ln2\cdot123{,}5\approx-85{,}6,
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\eta(40) =1-\exp(-85{,}6)\approx1-0\approx1\quad(\text{ou }100\%).

Passo 4

Para determinar o diâmetro físico D do ciclone e o número de unidades, seriam necessárias as proporções geométricas completas (largura e altura de entrada, comprimento do corpo cilíndrico, etc.) e o critério de vazão por ciclone. Como tais dados geométricos padrão não foram fornecidos no enunciado, não há informação suficiente para calcular de forma numérica os itens (c) e (d).

Resposta

a) d_{50}\approx3{,}6\\ \mu\mathrm{m}.
b) \eta(40\\ \mu\mathrm{m})\approx100\%.
c) Dados geométricos insuficientes.
d) Dados geométricos insuficientes.

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