Uma partícula cilíndrica de vidro (diâmetro =1 \mathrm{~mm}, comprimento =5 \mathrm{~mm}, \mathrm{SGS}=2,8 ) cai em água a 50^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , sob a ação do campo gravitacional terrestre. Sabe-se que os efeitos de parede e de população são desprezíveis. Nessas condições pede-se: (a) calcular sua velocidade terminal (em m/s); (b) calcular a força de arraste que o fluido exerce sobre a partícula (em N); (c) identificar as restrições da lei de Stokes que são violadas nesse problema.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula cilíndrica de vidro com diâmetro 1\,\mathrm{mm}, comprimento 5\,\mathrm{mm} e densidade relativa SGS=2,8 caindo em água a 50^\circ\mathrm{C}. Desprezam-se efeitos de parede e de interação entre partículas. Pede-se a velocidade terminal, a força de arraste e quais hipóteses da lei de Stokes são violadas. Vamos usar como aproximação a lei de Stokes para esfera.

Passo 2

Determinam-se as propriedades do sistema. A água a 50^\circ\mathrm{C} tem
\rho_w = 988{,}1\:\mathrm{kg/m^3} e \mu = 0{,}547\times10^{-3}\:\mathrm{Pa\cdot s}.
Logo a densidade da partícula é
\rho_p = SGS\;\rho_w = 2{,}8\times988{,}1 = 2766{,}7\:\mathrm{kg/m^3}.
A gravidade vale g=9{,}81\:\mathrm{m/s^2} e o diâmetro d=1\times10^{-3}\:\mathrm{m}.

Passo 3

A velocidade terminal de Stokes para esfera é
v_t = \frac{(\rho_p - \rho_w)\,g\,d^2}{18\,\mu}.
Substituindo os valores,
v_t = \frac{(2766{,}7 - 988{,}1)\times9{,}81\times(1\times10^{-3})^2} {18\times0{,}547\times10^{-3}} \approx 1{,}77\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

A força de arraste segundo Stokes é
F_d = 3\pi\,\mu\,d\,v_t.
Logo,
F_d = 3\pi\times0{,}547\times10^{-3}\times1\times10^{-3}\times1{,}77 \approx 9{,}15\times10^{-6}\:\mathrm{N}.

Passo 5

Verificam-se as hipóteses de Stokes: fluxo laminar com Re\ll1 e partícula esférica. Calcula-se
Re = \frac{\rho_w\,v_t\,d}{\mu} \approx \frac{988{,}1\times1{,}77\times10^{-3}}{0{,}547\times10^{-3}} \approx 3200,
logo Re\not\ll1. Além disso a partícula é cilíndrica, não esférica.

Resposta

(a) \,v_t \approx 1{,}77\:\mathrm{m/s}.
(b) \,F_d \approx 9{,}15\times10^{-6}\:\mathrm{N}.
(c) Violam-se as hipóteses de fluxo de creeping ( Re\ll1 não atendido) e de partícula esférica (ela é cilíndrica).

Exercícios relacionados